Linear Algebra 2 - NMAI058

• Title: Lineární algebra 2
• Guaranteed by: Department of Applied Mathematics (32-KAM)
• Faculty: Faculty of Mathematics and Physics
• Actual: from 2019
• Semester: summer
• E-Credits: 5
• Hours per week, examination: summer s.:2/2 C+Ex [hours/week]
• Capacity: unlimited
• Min. number of students: unlimited
• Virtual mobility / capacity: no
• State of the course: taught
• Language: Czech, English
• Teaching methods: full-time
• Guarantor: prof. Mgr. Milan Hladík, Ph.D.; doc. Mgr. Petr Kolman, Ph.D.
• Class: Informatika Bc.
• Classification: Mathematics > Algebra
• Is incompatible with: NALG086, NUMP004, NUMP003

Annotation

English

Last update: FIALA/MFF.CUNI.CZ (17.02.2010)

Continuation of MAI057 - special matrices, determinants, eigenvalues, examples of applications of linear algebra.

Czech

Last update: T_KAM (17.02.2010)

Pokračování předmětu MAI057 - speciální matice, determinanty, vlastní čísla, aplikace lineární algebry.

Course completion requirements

English

Last update: doc. Mgr. Jan Hubička, Ph.D. (28.02.2018)

For passing the class you should obtain at least 70% of total marks from the tests given during the semester and a practical programming homework. Students can obtain addidional marks by homework (the amount of homework depends on missing marks). Homework will be given at the end of the semester if someone needs it.

Czech

Last update: doc. RNDr. Jiří Fiala, Ph.D. (21.03.2022)

Zápočet bude udělen za zisk dostatečného počtu bodů udělovaných průběžně za písemné testy, řešení domácích úloh, aktivitu na hodinách, popř. docházku. Přesné podmínky se však individuálně liší u jednotlivých vyučujících a jsou popsány níže. Podmínky mohou doznat mírné změny v případě distanční/prezenční výuky. Z průběžné povahy kontroly neplyne nárok na vypisování opravných termínů testů. Zápočet je podmínkou pro konání zkoušky.

M. Hladík, O. Pangrác:

K získání zápočtu je potřeba alespoň 50% bodový zisk z písemek psaných v průběhu semestru a alespoň 50% bodový zisk z domácích úkolů. Dodatečné body je možno získat řešením bonusových domácích úkolů (obvykle zadány koncem semestru).

J. Bok, E. Garajová:

K získání zápočtu je potřeba alespoň 50% bodový zisk z domácích úkolů. Dodatečné body je možno získat řešením bonusových domácích úkolů (obvykle zadány koncem semestru).

P. Dvořák:

Přes semestr bude 10 sérií domácích úkolů po 5 bodech. Nárok na zápočet má ten, kdo dosáhne alespoň poloviny bodů z každé série.

J. Fiala:

K získání zápočtu je potřeba alespoň 100 bodů (z alespoň 150) za domácí úkoly a písemky.

Literature

English

Last update: prof. Mgr. Milan Hladík, Ph.D. (22.11.2012)

W. Gareth. Linear Algebra with Applications. Jones and Bartlett Publishers, Boston, 4th edition, 2001.

C. D. Meyer. Matrix analysis and applied linear algebra. SIAM, Philadelphia, PA, 2000. http://www.matrixanalysis.com/DownloadChapters.html

G. Strang. Linear algebra and its applications. Thomson, USA, 4rd edition, 2006.

Czech

Last update: prof. Mgr. Milan Hladík, Ph.D. (01.10.2019)

J. Bečvář. Lineární algebra. Matfyzpress, Praha, 3. vydání, 2005.

L. Bican. Lineární algebra a geometrie. Academia, Praha, 2. vydání, 2009.

M. Hladík. Lineární algebra (nejen) pro informatiky, Matfyzpress, Praha, 1. vydání, 2019.

J. Rohn. Lineární algebra a optimalizace. Karolinum, Praha, 2004.

J. Tůma. Texty k pednásce Lineární algebra, 2003, http://www.karlin.mff.cuni.cz/~tuma/NNlinalg.htm

Requirements to the exam

English

Last update: doc. Mgr. Jan Hubička, Ph.D. (13.06.2022)

There will an examination consisting of a written and oral part.

The written part involves several exercises. The oral part involves discussion of solutions to the set problems and additional questions on topics covered in lectures and classes.

Result of tests accomplished during the teaching period may be taken into account at the exam.

Class credits ("zapocet") are prerequisite for taking the examination

Czech

Last update: doc. Mgr. Jan Hubička, Ph.D. (13.06.2022)

Požadavky ke zkoušce odpovídají sylabu předmětu v rozsahu, v jakém byl pokryt na přednáškách, cvičeních a určeném samostudiu. Je požadována i schopnost aplikovat získané znalosti při řešení příkladů.

Zkouška může mít písemnou nebo ústní podobu, nebo kombinaci obojího.

Zkouška může mít kontaktní nebo distanční formu.

Zápočet je podmínkou pro konání zkoušky.

U zkoušky může být přihlédnuto k výsledku testů psaných v období výuky.

Syllabus

English

Last update: prof. Mgr. Milan Hladík, Ph.D. (28.03.2022)

Inner product spaces:

• norm induced by an inner product

• Pythagoras theorem, Cauchy-Schwarz inequality, triangle inequality

• orthogonal and orthonormal system of vectors, Fourier coefficients, Gram-Schmidt orthogonalization

• orthogonal complement, orthogonal projection

• the least squares method

• orthogonal matrices

Determinants:

• basic properties

• Laplace expansion of a determinant, Cramer's rule

• adjugate matrix

• geometric interpretation of determinants

Eigenvalues and eigenvectors:

• basic properties, characteristic polynomial

• Cayley-Hamilton theorem

• similarity and diagonalization of matrices, spectral decomposition, Jordan normal form

• symmetric matrices and their spectral decomposition

• (optionally) companion matrix, estimation and computation of eigenvalues: Gershgorin discs and power method

Positive semidefinite and positive definite matrices:

• characterization and properties

• methods: recurrence formula, Cholesky decomposition, Gaussian elimination, Sylvester's criterion

• relation to inner products

Bilinear and quadratic forms:

• forms and their matrices, change of a basis

• Sylvester's law of inertia, diagonalization, polar basis

Topics on expansion (optionally):

• eigenvalues of nonnegative matrices

• matrix decompositions: Householder transformation, QR, SVD, Moore-Penrose pseudoinverse of a matrix

Czech

Last update: prof. Mgr. Milan Hladík, Ph.D. (28.03.2022)

Prostory se skalárním součinem:

• norma indukovaná skalárním součinem

• Pythagorova věta, Cauchyho-Schwarzova nerovnost, trojúhelníková nerovnost

• ortogonální a ortonormální systémy vektorů, Fourierovy koeficienty, Gramova-Schmidtova ortogonalizace

• ortogonální doplněk, ortogonální projekce

• metoda nejmenších čtverců

• ortogonální matice

Determinanty:

• základní vlastnosti determinantu

• Laplaceův rozvoj determinantu, Cramerovo pravidlo

• adjungovaná matice

• geometrická interpretace determinantu

Vlastní čísla a vlastní vektory:

• základní vlastnosti, charakteristický polynom

• Cayleyho-Hamiltonova věta

• podobnost a diagonalizovatelnost matic, spektrální rozklad, Jordanova normální forma

• symetrické matice a spektrální rozklad,

• (volitelně) matice společnice, odhad a výpočet vlastních čísel: Gerschgorinovy disky a mocninná metoda

Positivně semidefinitní a positivně definitní matice:

• charakterizace a vlastnosti

• metody na testování: rekurentní vzoreček, Choleského rozklad, Gaussova eliminace, Sylvestrovo kriterium

• vztah se skalárním součinem

Bilineární a kvadratické formy:

• maticové vyjádření, vliv změny báze na matici

• Sylvestrův zákon setrvačnosti, diagonalizace, polární báze

Rozšiřující témata (volitelně):

• vlastní čísla nezáporných matic

• maticové rozklady: Householderova transformace, QR, SVD, Mooreova-Penroseova pseudoinverze matice