Linear Algebra 2 - NMAI058

• Title: Lineární algebra 2
• Guaranteed by: Department of Applied Mathematics (32-KAM)
• Faculty: Faculty of Mathematics and Physics
• Actual: from 2019
• Semester: summer
• E-Credits: 5
• Hours per week, examination: summer s.:2/2, C+Ex [HT]
• Capacity: unlimited
• Min. number of students: unlimited
• 4EU+: no
• Virtual mobility / capacity: no
• State of the course: taught
• Language: Czech, English
• Teaching methods: full-time
• Guarantor: prof. Mgr. Milan Hladík, Ph.D.; doc. Mgr. Petr Kolman, Ph.D.
• Teacher(s): RNDr. Martin Černý; doc. RNDr. Jiří Fiala, Ph.D.; Mgr. Elif Garajová, Ph.D.; prof. Mgr. Milan Hladík, Ph.D.; doc. Mgr. Petr Kolman, Ph.D.; Mgr. Matyáš Lorenc; RNDr. Jana Maxová, Ph.D.; RNDr. Ondřej Pangrác, Ph.D.; Irena Penev, Ph.D.
• Class: Informatika Bc.
• Classification: Mathematics > Algebra
• Is incompatible with: NALG086, NUMP004, NUMP003

Annotation

English

Continuation of MAI057 - special matrices, determinants, eigenvalues, examples of applications of linear algebra.

Last update: FIALA/MFF.CUNI.CZ (17.02.2010)

Czech

Pokračování předmětu MAI057 - speciální matice, determinanty, vlastní čísla, aplikace lineární algebry.

Last update: T_KAM (17.02.2010)

Course completion requirements

English

The relevant information for the English section of this course in summer semester of 2025 can be found on the course web page: https://iuuk.mff.cuni.cz/~ipenev/NMAI058S2025.html

Last update: Penev Irena, Ph.D. (18.02.2025)

Czech

K zápočtu je třeba získat alespoň 120 bodů z celkových 240 bodů udělovaných během semestru za písemné testy, řešení domácích úloh a aktivitu na hodinách.

Studenti, kteří do konce výuky získají alespoň 80 bodů, mohou doplnit potřebné body vyřešením dodatečných domácích úloh nebo složením dodatečného písemného testu (dle pokynů cvičícího).

V důvodných případech (dlouhodobá nemoc, pobyt v zahraničí, apod.) může cvičící stanovit individuální podmínky na udělení zápočtu.

Zápočet je podmínkou pro konání zkoušky.

Last update: Hladík Milan, prof. Mgr., Ph.D. (19.01.2024)

Literature

English

W. Gareth. Linear Algebra with Applications. Jones and Bartlett Publishers, Boston, 4th edition, 2001.

C. D. Meyer. Matrix analysis and applied linear algebra. SIAM, Philadelphia, PA, 2000. http://www.matrixanalysis.com/DownloadChapters.html

G. Strang. Linear algebra and its applications. Thomson, USA, 4rd edition, 2006.

Last update: Hladík Milan, prof. Mgr., Ph.D. (22.11.2012)

Czech

J. Bečvář. Lineární algebra. Matfyzpress, Praha, 3. vydání, 2005.

L. Bican. Lineární algebra a geometrie. Academia, Praha, 2. vydání, 2009.

M. Hladík. Lineární algebra (nejen) pro informatiky, Matfyzpress, Praha, 1. vydání, 2019.

J. Rohn. Lineární algebra a optimalizace. Karolinum, Praha, 2004.

J. Tůma. Texty k pednásce Lineární algebra, 2003, http://www.karlin.mff.cuni.cz/~tuma/NNlinalg.htm

Last update: Hladík Milan, prof. Mgr., Ph.D. (01.10.2019)

Requirements to the exam

English

The relevant information for the English section of this course in summer semester of 2025 can be found on the course web page: https://iuuk.mff.cuni.cz/~ipenev/NMAI058S2025.html

Last update: Penev Irena, Ph.D. (18.02.2025)

Czech

Požadavky ke zkoušce odpovídají sylabu předmětu v rozsahu, v jakém byl pokryt na přednáškách, cvičeních a určeném samostudiu. Je požadována i schopnost aplikovat získané znalosti při řešení příkladů.

Zkouška může mít písemnou nebo ústní podobu, nebo kombinaci obojího.

Zkouška může mít kontaktní nebo distanční formu.

Zápočet je podmínkou pro konání zkoušky.

U zkoušky může být přihlédnuto k výsledku testů psaných v období výuky.

Last update: Hubička Jan, doc. Mgr., Ph.D. (13.06.2022)

Syllabus

English

Inner product spaces:

• norm induced by an inner product

• Pythagoras theorem, Cauchy-Schwarz inequality, triangle inequality

• orthogonal and orthonormal system of vectors, Fourier coefficients, Gram-Schmidt orthogonalization

• orthogonal complement, orthogonal projection

• the least squares method

• orthogonal matrices

Determinants:

• basic properties

• Laplace expansion of a determinant, Cramer's rule

• adjugate matrix

• geometric interpretation of determinants

Eigenvalues and eigenvectors:

• basic properties, characteristic polynomial

• Cayley-Hamilton theorem

• similarity and diagonalization of matrices, spectral decomposition, Jordan normal form

• symmetric matrices and their spectral decomposition

• (optionally) companion matrix, estimation and computation of eigenvalues: Gershgorin discs and power method

Positive semidefinite and positive definite matrices:

• characterization and properties

• methods: recurrence formula, Cholesky decomposition, Gaussian elimination, Sylvester's criterion

• relation to inner products

Bilinear and quadratic forms:

• forms and their matrices, change of a basis

• Sylvester's law of inertia, diagonalization, polar basis

Topics on expansion (optionally):

• eigenvalues of nonnegative matrices

• matrix decompositions: Householder transformation, QR, SVD, Moore-Penrose pseudoinverse of a matrix

Last update: Hladík Milan, prof. Mgr., Ph.D. (28.03.2022)

Czech

Prostory se skalárním součinem:

• norma indukovaná skalárním součinem

• Pythagorova věta, Cauchyho-Schwarzova nerovnost, trojúhelníková nerovnost

• ortogonální a ortonormální systémy vektorů, Fourierovy koeficienty, Gramova-Schmidtova ortogonalizace

• ortogonální doplněk, ortogonální projekce

• metoda nejmenších čtverců

• ortogonální matice

Determinanty:

• základní vlastnosti determinantu

• Laplaceův rozvoj determinantu, Cramerovo pravidlo

• adjungovaná matice

• geometrická interpretace determinantu

Vlastní čísla a vlastní vektory:

• základní vlastnosti, charakteristický polynom

• Cayleyho-Hamiltonova věta

• podobnost a diagonalizovatelnost matic, spektrální rozklad, Jordanova normální forma

• symetrické matice a spektrální rozklad,

• (volitelně) matice společnice, odhad a výpočet vlastních čísel: Gerschgorinovy disky a mocninná metoda

Positivně semidefinitní a positivně definitní matice:

• charakterizace a vlastnosti

• metody na testování: rekurentní vzoreček, Choleského rozklad, Gaussova eliminace, Sylvestrovo kriterium

• vztah se skalárním součinem

Bilineární a kvadratické formy:

• maticové vyjádření, vliv změny báze na matici

• Sylvestrův zákon setrvačnosti, diagonalizace, polární báze

Rozšiřující témata (volitelně):

• vlastní čísla nezáporných matic

• maticové rozklady: Householderova transformace, QR, SVD, Mooreova-Penroseova pseudoinverze matice

Last update: Hladík Milan, prof. Mgr., Ph.D. (28.03.2022)