General harmonic analysis generalizes the classical Fourier analysis and
the correspondiong analysis of partial differential equations for other
groups than the translational R^n. First part of the lecture.
Last update: T_MUUK (13.05.2015)
Harmonická analýza zobecňuje klasickou Fourierovu analýzu a související
analýzu parciálních diferenciálních rovnic pro jiné grupy než translační a
abelovskou grupu R^n. První část přednášky.
Aim of the course -
Last update: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (05.01.2017)
Study of harmonic analysis for locally compact groups.
Last update: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (11.07.2020)
Naučit základy harmonické analýzy na lokálně kompaktních grupách.
Course completion requirements -
Last update: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (27.10.2019)
Credit and exam, which is oral with a written preparation. Credit is given by an active presence at exercises (computing at the black-borad) or by computing 15 exercises at home, aliquoat counting.
Last update: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (11.07.2020)
Získání zápočtu a složení zkoušky, která je ústní s písemnou přípravou, a to i ve formě absenční přes on-line platformy. Zápočet je udělen v případě aktivní účasti na cvičení nebo za vypracovaní 10 domácích úloh (v případě absence na cvičeních nebo při absenční výuce).
Literature -
Last update: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (05.01.2017)
Deitmar, A., Echterhoff, S., Principlesof harmonic analysis
Dixmier, J., C*-algebras and their representations, North-Holland, 1989
Segal, I. E., The group algebra of a locally compact group, Trans. Amer. Math. Soc. 61, 1947, 69-105
Last update: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (05.01.2017)
Deitmar, A., Echterhoff, S., Principlesof harmonic analysis
Dixmier, J., C*-algebras and their representations, North-Holland, 1989
Segal, I. E., The group algebra of a locally compact group, Trans. Amer. Math. Soc. 61, 1947, 69-105
Teaching methods -
Last update: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (13.05.2015)
Lecture and exercise.
Last update: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (13.05.2015)
Přednáška a cvičení.
Requirements to the exam -
Last update: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (11.05.2015)
We test the knowledge of definitions, theorems and their application.
Last update: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (11.05.2015)
Znalost definic a vět a jejich schopnost je aplikovat v přehledných situacích.
Syllabus -
Last update: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (14.06.2022)
1) Introduction: Fourier transform and Fourier series, F. transform of Gaussian (by Cauchy theorem)
2) Recall of Topology (final and initial topology, local compactness, compactification, Alexandrov compactification, Tychonov theorem on products of compact sets) and basics on Measure theory (definitions, exapmles, Borel and Radon measures)
3) Compact-open topology, locally uniform convergence on compact sets and Banach--Alaoglu theorem
4) Basics on Banach, Banach-* and C*-algebras (spectrum, resolvent, theorem of Gelfand and Mazur without proof), examples: C(X), B(H), D (disc algebra)
5) Theorem on the Gelfand transform, theorem of Stone-Weierstrass and Gelfand-Naimark (two last without proof)
6) Locally compact groups (definition and examples), Haar measure for locally compact groups (existence with proof, uniqueness without proof), modular functions
7) Basics on representation theory of (topological) groups: Schur lemma (on intertwining homomorphisms), representations of commutative groups, characters of groups
8) L^1(G) with convolution and L^1-norm is Banach *-algebra, group algebra of a finite group, Fourier transform on locally compact groups, F. t. is homomorphism of (L^1(G),*) and (L^1(G), . )
9) Characters. Characters of Z, S^1, R^n. Characters as a locally compact group, Plancherel measure and theorem (without proof)
10) Pontryagin duality (proof)
11) Poisson summation formula on locally compact abelian groups (if time permits transformation rules for theta-functions)
Last update: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. (14.06.2022)
1) Úvod: Fourierova transformace a Fourierovy řady, F. transformace "gaussiánu" pomocí Cauchyovy věty pro holomorfní funkce
2) Opakování topologie (iniciální a finální topologie, lokální kompaktnost, kompaktifikace, Alexandrovova kompaktifikace, Tychonovova věta o součinu kompaktních prostorů) a opakování teorie míry (definice a příklady, Borelových a Radonových mměr)
3) Opakování: Kompaktní-otevřená topologie, lokálně stejnoměrná konvergence na kompaktech, a Banachova-Alaogluova věta
4) Základy Banachových, Banachových-* a C*-algeber (spektrum, rezolventa, věta Gelfanda a Mazura bez důkazu), příklady: C(X), B(H), D (algebra disku)
5) Věta o Gelfandově transformaci, věta Stone--Weierstrasse a Gelfanda--Naimarka (podlední dvě bez dk.)
6) Lokálně kompaktní grupy (definice a příklady), Haarova míra na lokálně kompaktních topologických grupách (existence s důkazem, jednoznačnost bez důkazu) modulární funkce Haarovy míry
7) Základní pojmy z teorie reprezentací (topologických) grup: Schurovo lemma (o splétajících operátorech), reprezentace komutativnícch grup; grupa charakterů grup
8) L^1(G) s konvolucí a L^1-normou je Banachova algebra; grupová algebra konečné grupy. Fourierova transformace na L^1(G), F. t. je homomorfizmus (L^1(G),*) a (L^1(G),.).
9) Charaktery. Charaktery Z, S^1, R^n. Charaktery jako lokálně kompaktní grupa, Plancherelova míra a věta (bez dk.)
10) Pontrjaginova dualita (náčrt důkazu.)
11) Poissonova sumační formule na lokálně kompaktních abelovských grupách (transformace theta-funkcí)
