Introduction to Commutative Algebra - NMAG305

• Title: Úvod do komutativní algebry
• Guaranteed by: Department of Algebra (32-KA)
• Faculty: Faculty of Mathematics and Physics
• Actual: from 2025
• Semester: winter
• E-Credits: 6
• Hours per week, examination: winter s.:3/1, C+Ex [HT]
• Capacity: unlimited
• Min. number of students: unlimited
• 4EU+: no
• Virtual mobility / capacity: no
• State of the course: taught
• Language: Czech
• Teaching methods: full-time
• Additional information: https://www1.karlin.mff.cuni.cz/~kala/web/teaching/25uka
• Guarantor: doc. Mgr. Vítězslav Kala, Ph.D.
• Teacher(s): doc. Mgr. Vítězslav Kala, Ph.D.; Bc. David Stern
• Class: M Bc. MMIB; M Bc. MMIB > Povinné; M Bc. MMIT; M Bc. MMIT > Povinné; M Bc. OM; M Bc. OM > Zaměření MSTR; M Bc. OM > Povinně volitelné
• Classification: Mathematics > Algebra
• Incompatibility : NMAG301
• Interchangeability : NMAG301
• Is incompatible with: NMAG301
• Is pre-requisite for: NMAG351
• Is interchangeable with: NMAG301

Annotation

English

A recommended course for Information Security and specialization Mathematical Structures within General Mathematics. It covers basic topics of commutative ring theory.

Last update: Kaplický Petr, doc. Mgr., Ph.D. (30.05.2019)

Czech

Přednáška pokrývá základní klasická témata teorie komutativních okruhů a buduje pojmy potřebné pro navazující přednášky, zejména o algebraické geometrii. Určeno pro bakalářský obor MMIT a zaměření Matematické struktury na OM.

Last update: Kaplický Petr, doc. Mgr., Ph.D. (30.05.2019)

Course completion requirements

Zkouška bude ústní s písemnou přípravou. Témata odpovídají probrané látce na přednáškách a cvičeních. Zápočet je udělován za úspěšné vyřešení cca 3 sad domácích úkolů a není potřeba k účasti na zkoušce.

Podrobnější informace jsou na webové stránce předmětu.

Last update: Kala Vítězslav, doc. Mgr., Ph.D. (19.09.2022)

Literature

English

M. F. Atiah, I.G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison Wesley, 1969.

H. Matsumura, Commutative Ring Theory, W. A. Benjamin, 1970.

P. Samuel, O. Zariski, Commutative Algebra vol. I and II, Princeton, D. Van Nostrand Company, 1958, 1960.

R. Y. Sharp, Steps in Commutative Algebra (London Math. Society Student Text), Cambridge Univ. Press, 2nd ed., 2001.

Last update: Žemlička Jan, doc. Mgr. et Mgr., Ph.D. (15.01.2026)

Czech

Základní prameny:

• skripta V. Kaly
• Záznamy přednášek z roku 2019/20

Doplňující literatura:

• M. F. Atiah, I.G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison Wesley, 1969.
• H. Matsumura, Commutative Ring Theory, W. A. Benjamin, 1970.
• P. Samuel, O. Zariski, Commutative Algebra vol. I and II, Princeton, D. Van Nostrand Company, 1958, 1960.
• R. Y. Sharp, Steps in Commutative Algebra (London Math. Society Student Text), Cambridge Univ. Press, 2nd ed., 2001.
• A.Drápal, Komutativní okruhy (skriptum).
• L. Procházka a kol., Algebra. Academia, Praha 1990.

Last update: Kala Vítězslav, doc. Mgr., Ph.D. (04.09.2025)

Requirements to the exam

Zkouška bude ústní s písemnou přípravou. Témata odpovídající probrané látce na přednáškách a cvičeních.

Last update: STOVJ8AM (20.09.2021)

Syllabus

English

Introduction

• ideals and divisibility, arithmetic of ideals, Noetherianity,

hierarchy of domains

• quotient rings, theorems on homomorphisms and isomorphisms, the

Chinese remainder theorem

• Gauss's lemma on polynomials, Gauss's theorem and Hilbert's basis theorem

Galois theory

• extension of homomorphisms to splitting fields of polynomials and the

Galois group

• construction and uniqueness of the algebraic closure of a field

• the degree of separability and separable field extensions

• simple field extensions, the primitive element theorem

• normal and Galois extensions

• the fundamental theorem of Galois theory

• (un)solvability of polynomials in radicals

Introduction to algebraic geometry

• radicals and radical ideals

• the Galois correspondence I, V, irreducibility vs. prime ideals

• Hilbert's Nullstellensatz

Introduction to algebraic number theory

• solving Diophantine equations by prime decomposition in number fields

• rings of integral elements and their basic properties

• unique decomposition of ideals

• description of prime ideals

Last update: Žemlička Jan, doc. Mgr. et Mgr., Ph.D. (15.01.2026)

Czech

Úvod

• Ideály a dělitelnost, aritmetika ideálu, noetherovskost, hierarchie oborů

• Faktorokruhy, Věty o homomorfismu a izomorfismu, Čínská věta o zbytcích

• Gaussovo lemma, Gaussova věta a Hilbertova věta o bázi

Galoisova teorie

• rozšiřování homomorfismů do rozkladových nadtěles a Galoisova grupa

• konstrukce a jednoznačnost alg. uzávěru

• stupeň separability a separabilní rozšíření

• jednoduchá rozšíření, věta o primitivním prvku

• normální a Galoisova rozšíření

• hlavní věta Galoisovy teorie

• (ne)řešitelnost polynomu v radikálech

Úvod do algebraické geometrie

• Radikály

• Galoisova korespondence I,V, ireducibilita vs. prvoideály

• Hilbertova věta o nulách

Úvod do algebraické teorie čísel

• Řešení diofantických rovnic rozkladem v číselných tělesech

• Okruhy celistvých prvků a jejich základní vlastnost

• Jednoznačný rozklad ideálu

• Popis prvoideálů

Last update: Žemlička Jan, doc. Mgr. et Mgr., Ph.D. (15.01.2026)