Introduction to Commutative Algebra - NMAG305

• Title: Úvod do komutativní algebry
• Guaranteed by: Department of Algebra (32-KA)
• Faculty: Faculty of Mathematics and Physics
• Actual: from 2023
• Semester: winter
• E-Credits: 6
• Hours per week, examination: winter s.:3/1, C+Ex [HT]
• Capacity: unlimited
• Min. number of students: unlimited
• 4EU+: no
• Virtual mobility / capacity: no
• State of the course: taught
• Language: Czech
• Teaching methods: full-time
• Teaching methods: full-time
• Additional information: https://www1.karlin.mff.cuni.cz/~kala/web/teaching/22ka
• Guarantor: doc. Mgr. Jan Šaroch, Ph.D.
• Class: M Bc. MMIB; M Bc. MMIB > Povinné; M Bc. MMIT; M Bc. MMIT > Povinné; M Bc. OM; M Bc. OM > Zaměření MSTR; M Bc. OM > Povinně volitelné
• Classification: Mathematics > Algebra
• Incompatibility : NMAG301
• Interchangeability : NMAG301
• Is incompatible with: NMAG301
• Is pre-requisite for: NMAG351
• Is interchangeable with: NMAG301

Annotation

English

Last update: doc. Mgr. Petr Kaplický, Ph.D. (30.05.2019)

A recommended course for Information Security and specialization Mathematical Structures within General Mathematics. It covers basic topics of commutative ring theory.

Czech

Last update: doc. Mgr. Petr Kaplický, Ph.D. (30.05.2019)

Přednáška pokrývá základní klasická témata teorie komutativních okruhů a buduje pojmy potřebné pro navazující přednášky, zejména o algebraické geometrii. Určeno pro bakalářský obor MMIT a zaměření Matematické struktury na OM.

Course completion requirements

Last update: doc. Mgr. Vítězslav Kala, Ph.D. (19.09.2022)

Zkouška bude ústní s písemnou přípravou. Témata odpovídají probrané látce na přednáškách a cvičeních. Zápočet je udělován za úspěšné vyřešení cca 3 sad domácích úkolů a není potřeba k účasti na zkoušce.

Podrobnější informace jsou na webové stránce předmětu.

Literature

Last update: doc. Mgr. Vítězslav Kala, Ph.D. (19.09.2022)

Základní prameny:

• skripta V. Kaly
• Záznamy přednášek z roku 2019/20

Doplňující literatura:

• M. F. Atiah, I.G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison Wesley, 1969.
• H. Matsumura, Commutative Ring Theory, W. A. Benjamin, 1970.
• P. Samuel, O. Zariski, Commutative Algebra vol. I and II, Princeton, D. Van Nostrand Company, 1958, 1960.
• R. Y. Sharp, Steps in Commutative Algebra (London Math. Society Student Text), Cambridge Univ. Press, 2nd ed., 2001.
• A.Drápal, Komutativní okruhy (skriptum).
• L. Procházka a kol., Algebra. Academia, Praha 1990.

Requirements to the exam

Last update: doc. RNDr. Jan Šťovíček, Ph.D. (20.09.2021)

Zkouška bude ústní s písemnou přípravou. Témata odpovídající probrané látce na přednáškách a cvičeních.

Syllabus

Last update: doc. Mgr. Petr Kaplický, Ph.D. (30.05.2019)

Úvod

• Ideály a dělitelnost, aritmetika ideálu, noetherovskost, hierarchie oboru

• Faktorokruhy, Věty o homomorfismu a izomorfismu, Čínská věta o zbytcích

• Gaussovo lemma, Gaussova věta a Hilbertova věta o bázi

Galoisova teorie

• rozšiřování homomorfismů do rozkladových nadtěles a Galoisova grupa

• konstrukce a jednoznačnost alg. uzávěru

• stupeň separability a separabilní rozšíření

• jednoduchá rozšíření, věta o primitivním prvku

• normální a Galoisova rozšíření

• hlavní věta Galoisovy teorie

• (ne)řešitelnost polynomu v radikálech

Úvod do algebraické geometrie

• Radikály

• Galoisova korespondence I,V, ireducibilita vs. prvoideály

• Hilbertova věta o nulách

Úvod do algebraické teorie čísel

• Řešení diofantických rovnic rozkladem v číselných tělesech

• Okruhy celistvých prvků a jejich základní vlastnost

• Jednoznačný rozklad ideálu

• Popis prvoideálu