This one-semestral course is a continuation of the basic two year course on analysis and linear algebra for physicists.
Last update: T_KMA (13.05.2008)
Tato semestrální přednáška navazuje na základní dvouletý kurs matematické analýzy a lineární algebry pro fyziky.
Last update: G_F (22.05.2008)
Aim of the course -
This one-semestral course is a continuation of the basic two year course on analysis and linear algebra for physicists.
Last update: T_KMA (13.05.2008)
Tato semestrální přednáška navazuje na základní dvouletý kurs matematické analýzy a lineární algebry pro fyziky.
Last update: Pokorný Milan, prof. Mgr., Ph.D., DSc. (28.09.2020)
Course completion requirements -
Credits for tutorials, including those for written tests and active participation, are a necessary prerequisite in order to take the exam. Credits are given by the tutor. The exam consists of a written part and oral examination.
Last update: Pokorný Milan, prof. Mgr., Ph.D., DSc. (28.09.2020)
Připuštění ke zkoušce je podmíněno získáním zápočtu. Podmínky získání zápočtu zahrnují výsledek zápočtové písemky na konci semestru, plnění domácích úkolů a aktivní účast na cvičení. Celkem je možno během semestru získat maximálně 75 bodů, z toho 35 bodů je potřeba pro udělení zápočtu. Zkouška se skládá z početní písemné práce a ústní zkoušky. Pro postup na ústní zkoušku je třeba získat alespoň 40% maximálního počtu bodů.
Last update: Pokorný Milan, prof. Mgr., Ph.D., DSc. (28.09.2020)
Literature -
P. Čihák a kol.: Matematická analýza pro fyziky (V), Matfyzpress, Praha, 2001, 320 str.
P. Čihák, J. Čerych, J. Kopáček: Příklady z matematiky pro fyziky V, Matfyzpress, Praha, 2002, 306 str.
J. Kopáček a kol.: Příklady z matematiky pro fyziky IV, Matfyzpress, 2003, 159 str.
R. Strichartz: A guide to distribution theory and Fourier transform, 2015, 218 str.
I. M. Gel'fand, G. E. Šilov: Obobščenyje funkcii i dejstvija nad nimi, Moskva, 1958, 439 str.
L. Hormander: The analysis of linear partial differential operators I, Springer 1983,391 str.
Last update: Pokorný Milan, prof. Mgr., Ph.D., DSc. (28.09.2020)
Teaching methods -
lectures and tutorials, starts online, further according the situation
Last update: Pokorný Milan, prof. Mgr., Ph.D., DSc. (28.09.2020)
přednáška + cvičení, začíná online, dále dle situace
Last update: Pokorný Milan, prof. Mgr., Ph.D., DSc. (28.09.2020)
Requirements to the exam -
The exam consists of a written part and oral examination. To pass the written part, at least 40% of the points are necessary.
Last update: Pokorný Milan, prof. Mgr., Ph.D., DSc. (28.09.2020)
Zkouška se skládá z početní písemné práce a ústní zkoušky. Pro postup na ústní zkoušku je třeba získat alespoň 40% maximálního počtu bodů. Je zkoušena látka probíraná během semestru.
Last update: Pokorný Milan, prof. Mgr., Ph.D., DSc. (28.09.2020)
Syllabus -
1. Laplace transform of functions
Definition and basic properties. Inversion theorems, application to intial promblems in ODEs.
2. Special functions
Gamma and beta funcions, Bessel functions. Gauss integration, hypergeometrical series.
3. Theory of distributions
Distributions, tempered distributions, (Dirac, vp and Pf distributions). Distributional calculus (multiplication by a smooth function, tensor product, convolution, differentiation, linear transformation). Convergence of distributions, distributions with parameter, Fourier and Laplace transform of distributions and its applications: derivative, convolution, tensor product. Convolution equations, fundamental solution. Fourier transform of periodical functions and distributions, Fourier series of periodical distributions.
4. Applications of theory of distributions
Laplace-Poisson equation:uniqueness, existence, Liouville theorem. Theorem of three potentials. Dirichlet problem and its solution. Use of conformal mappings to obtain solution in two dimensional domain. Heat equation: fundamental solutions, solutions with data. Heat waves, cooling of the ball. The wave equation: fundamental solutions, solutions with data.
Last update: T_KMA (13.05.2008)
0. Fourierova transformace
viz NMAF062
1. Laplaceova transformace funkcí
Definice Laplaceovy transformace pro funkce, vlastnosti Laplaceovy transformace. Věta o inverzi, použití residuové věty. Použití L.T. na řešení ODR s počátečními podmínkami.
2. Speciální funkce
Funkce Gamma a Beta a jejich použití při výpočtech. Besselovy funkce, cylindrické funkce, Besselova rovnice, asymptotika Besselových funkcí, generující funkce, rekurentní formule. Hypergeometrické řady a s nimi související kalkulus.
3. Úvod do teorie distribucí
Distribuce, temperované (Schwartzovy) distribuce, funkce jako distribuce, rovnost distribucí, konvergence distribucí, regulární a neregulární distribuce. Derivování distribucí, záměnnost pořadí derivování, derivování funkce se skoky, fundamentální řešení ODR a PDR, Laplaceův operátor pro sféricky symetrické funkce, fundamentální řešení Laplaceovy rovnice. Násobení distribuce funkcí, lineární transformace distribucí. Fourierova transformace temperovaných distribucí, F.T. Diracovy distribuce, konstant, cplx. exponenciál, sinu a kosinu. F.T. sudé distribuce. Vztah derivace a F.T. distribucí, F.T. distribuce s kompaktním nosičem. Plošná distribuce, výpočet F.T. sféricky symetrických funkcí. Spojitost F.T., inverzní F.T. Laplaceova transformace distribucí, vztah L.T. a derivování. Věta o inverzi pro Laplaceovu transformaci, inverzní formule pro holomorfní funkce s maximálně polynomiálním růstem. Aplikace: řešení elektrických obvodů pomocí Laplaceovy transformace. Konvergence distribucí, řady distribucí, vzorkovací distribuce. Distribuce s parametrem, tenzorový součin distribucí a jeho F.T., distributivní Fubiniho věta, konvoluce funkcí a distribucí, derivování jako konvoluce. Vztah konvoluce a Fourierovy (Laplaceovy) transformace. Fourierovy řady a periodické distribuce.
4. Aplikace teorie distribucí
Rovnice vedení tepla, Cauchyova úloha pro rovnici vedení tepla, nalezení Greenovy funkce úlohy s počáteční podmínkou pomocí F.T. Vedení tepla na polopřímce a na úsečce (na tyči), na kouli. Vlnová rovnice, Cauchyova úloha s dvojicí počátečních podmínek. Nalezení elementární vlnové funkce v jedné prostorové dimenzi, d'Alembertův vzorec. Vlnový kužel a konečná rychlosti šíření informací. Odvození elementární vlnové funkce ve dvou a třech dimenzích, plošná distribuce, jednovrstva a dvojvrstva. Laplaceova-Poissonova rovnice, řešení na celém prostoru a řešení na oblasti s hranicí. Zadávání okrajových podmínek na hranici, Dirichletova a Neumannova podmínka, smíšená podmínka. Problémy jednoznačnosti, příklady na nejednoznačná řešení. Elementární řešení, řešení na kouli, řešení pro polorovinu.
Last update: Málek Josef, prof. RNDr., CSc., DSc. (14.10.2018)
Entry requirements -
Knowledge of differential and integral calculus of one and several real variables, one complex variable.
Last update: Pokorný Milan, prof. Mgr., Ph.D., DSc. (22.06.2021)
Znalosti diferenciálního a integrálního počtu funkcí jedné a více reálných proměnných a jedné komplexní proměnné.
Last update: Pokorný Milan, prof. Mgr., Ph.D., DSc. (22.06.2021)
