Advanced Linear Algebra for Physicists - NMAF037

• Title: Pokročilá lineární algebra pro fyziky
• Guaranteed by: Department of Mathematical Analysis (32-KMA)
• Faculty: Faculty of Mathematics and Physics
• Actual: from 2016
• Semester: winter
• E-Credits: 3
• Hours per week, examination: winter s.:2/0, Ex [HT]
• Capacity: unlimited
• Min. number of students: unlimited
• 4EU+: no
• Virtual mobility / capacity: no
• State of the course: taught
• Language: Czech, English
• Teaching methods: full-time
• Guarantor: doc. RNDr. Miloš Zahradník, CSc.
• Teacher(s): doc. RNDr. Miloš Zahradník, CSc.
• Classification: Physics > Mathematics for Physicists

Annotation

English

Advanced topics of linear algebra for physicists.. A complement to the basic course of mathematics for physicists.

Last update: T_KMA (22.05.2008)

Czech

Pokročilá témata z lineární a nelineární algebry pro fyziky. Navazuje na základní pětisemestrální kurz z matematiky pro fyziky.

Last update: T_KMA (15.05.2008)

Literature

English

L. Motl, M. Zahradník: Pěstujeme lineární algebru, skriptum MFF UK

K. Výborný, M. Zahradník: Používáme lineární algebru, skriptum MFF UK

J. Matoušek, J. Nešetřil: Kapitoly z diskrétní matematiky, Praha 2007

R.P. Feynman: Statistical Mechanics, A Set of Lectures., Addison-Wesley Publishing Company, 1972.

F.R. Gantmacher: The theory of matrices, 1999.

I. Daubechies: Ten Lectures on Wavelets, Society for Industrial and Applied Mathematics, 1992.

M.L. Mehta: Random matrices, 2004.

Last update: T_KMA (15.05.2008)

Requirements to the exam

Zkouška bude ústní, po předběžné domluvě studenta s přednášejícím půjde o rozvinutí některého z témat na přednášce probraných

Last update: Zahradník Miloš, doc. RNDr., CSc. (13.10.2017)

Syllabus

English

Theory of determinants and Combinatorics. Trees, Kirchhoff theorem.

Probability and Stochastic matrices. Markov chains. Spectral properties of positive matrices,

Frobenius theorem, spectral gap.

Laplacian and the potential theory on lattices and graphs (Dirichlet forms, Coulomb potentials,

random walks). Gaussian measures, Wick formulas.

Heat equation on lattices, path integrals, Feynman Kac formulas.

Discrete Fourier transform. Introduction to waveletts.

Operators on finite dimensional spaces, functions of operators, Laurent series

of the resolvent, Jordan normal form, spectral decomposition. Introduction

to unbounded operators (and corresponding quadratic forms) on Hilbert space.

Random matrices and their spectra.

Pfaffian. Introduction to the calculus of anticommuting variables.

Linear algebra and statistical physics. Mayer expansion. Determinants of Laplace operators.

Onsager solution of the Ising model.

Last update: T_KMA (15.05.2008)

Czech

Teorie determinantů a kombinatorika.Stromy, Kirchhoffova věta.

Pravděpodobnost a teorie stochastických matic,elementy teorie Markovských řetězců z hlediska lineární algebry, pozitivní matice, jejich spektrální vlastnosti, modely růstu .Frobeniova věta, spektrální "mezera".

Laplacián a teorie potenciálu na grafech: Dirichletovy formy, Coulombův potenciál, náhodné procházky na mrizi. Gaussovské míry kvadratických forem mnoha proměnných Wickovy formule.

Rovnice vedení tepla na mříži, dráhové "integrály". Feynman Kacovy formule.

Diskrétní Fourierova transformace. Úvod do vlnek (waveletts).

Lineární operátory na konečněrozměrném prostoru: resolventa matice, funkce matic, Laurentovy rozvoje

a Jordanův tvar, spektrální rozklad. Elementy teorie neomezených operátorů na Hilbertově prostoru.

Náhodné matice a jejich spektra.

Pfaffián a antikomutující proměnné

Lineární algebra a statistická fyzika: Clusterové/Mayerovy rozvoje determinantů, Onsagerovo řešení Isingova modelu (netriviální ukázka kombinace LA, kombinatoriky a analýzy)

Last update: T_KMA (22.05.2008)