SubjectsSubjects(version: 845)
Course, academic year 2018/2019
   Login via CAS
Linear Algebra II - NMAF028
Title in English: Lineární algebra II
Guaranteed by: Laboratory of General Physics Education (32-KVOF)
Faculty: Faculty of Mathematics and Physics
Actual: from 2016 to 2018
Semester: summer
E-Credits: 5
Hours per week, examination: summer s.:2/2 C+Ex [hours/week]
Capacity: unlimited
Min. number of students: unlimited
State of the course: taught
Language: Czech
Teaching methods: full-time
Guarantor: Mgr. Dalibor Šmíd, Ph.D.
Class: Fyzika
Classification: Mathematics > Algebra
Physics > Mathematics for Physicists
Annotation -
Last update: T_KMA (22.05.2001)
This course gives, together with parallel courses on analysis, a basic course of mathematics for physicists. Emphasis is given also to relationship of all these disciplines. Keywords: selfadjoint operators, quadratic forms, tensors.
Course completion requirements - Czech
Last update: Mgr. Dalibor Šmíd, Ph.D. (21.02.2019)

Předmět je zakončen složením zápočtu a zkoušky. Složení zápočtu je podmínkou pro účast u zkoušky. Podmínky zkoušky jsou specifikovány v dokumentu Požadavky ke zkoušce. Zápočet je udělován za průběžnou a systematickou práci na cvičení a jeho povaha tedy vylučuje možnost opakování, s výjimkou velkého zápočtového testu.

Pro získání zápočtu bude třeba splnit současně dvě kritéria:

získat 70% bodů za práci na cvičení (v součtu)

získat 50% bodů za testy (v součtu)

Testy:

Dva malé testy, píší se na cvičení v předem specifikovaných týdnech, za každý maximum 8 bodů, bez možnosti opravného termínu.

Velký test, píše se na poslední přednášce, 5-6 příkladů z učiva celého semestru, maximum 30 bodů, dva předem vyhlášené opravné termíny v průběhu zkouškového období.

V součtu za oba testy je tedy třeba získat 23 bodů. Opravný test může buď nahradit výsledek velkého testu (hranice úspěšnosti je pak 23 bodů), nebo být posuzován samostatně bez přihlížení k malým testům (v tom případě je hranice 19 bodů).

Práce na cvičení

Za každé z 10-12 témat (každé odpovídá jedné přednášce) je možné získat 10 bodů, dalších 10 je možné získat za aktivitu na cvičení (např. prezentaci obtížnější úlohy). Je třeba získat alespoň 70% bodů z celkového počtu takto dostupných bodů.

Z 10 bodů za dané téma je zpravidla 8 bodů za aktivitu na cvičení nebo domácí úlohy a 2 body za předpřednáškový kvíz.

Kdo získá méně než 70% z celkového počtu dostupných bodů, ale alespoň 50% bodů, bude moci kritérium práce na cvičení splnit dodatečnými domácími úlohami dle seznamu na webu kurzu. Je třeba odevzdat všechny úlohy, bez ohledu na to, kolik procent bodů do 70% chybí.

Cvičící má u výborných studentů a v případě vážných důvodů možnost udělit zápočet výjimečně dle jiných kritérií. Takový režim je nutné dohodnout na začátku semestru, nejpozději do 15. března.

Literature - Czech
Last update: doc. RNDr. Helena Valentová, Ph.D. (10.01.2018)

L. Motl, M. Zahradník Pěstujeme lineární algebru učebnice, Karolinum 2002

K. Výborný, M.Zahradník Používáme lineární algebru (sbírka řešených příkladů), Karolinum 2002

Requirements to the exam - Czech
Last update: Mgr. Dalibor Šmíd, Ph.D. (28.02.2018)

Zkouška se skládá ze dvou částí, kterými je písemný orientační test a ústní zkoušení s přípravou. Orientační test předchází ústní zkoušce. Podmínkou složení zkoušky je úspěšné složení obou částí.

Orientační test obsahuje 5 otázek rovnoměrně pokrývajících sylabus předmětu v rozsahu, v jakém byl odpřednesen. Cílem orientačního testu je ověřit znalost základních pojmů a tvrzení z přednášky a porozumění jim, přesné požadavky jsou specifikovány na webu kurzu. Test je úspěšně složen získáním alespoň 70% bodů z něj. Pouze v případě jeho složení následuje ústní část.

Cílem ústní části je ověřit hloubku znalostí studenta, zejména co se týče porozumění vztahům mezi pojmy z přednášky a důkazům tvrzení. Před samotným zkoušením má student možnost přiměřené písemné přípravy. Na základě znalostí studenta u ústní části stanoví zkoušející známku z celé zkoušky. Může při tom přihlédnout k výsledkům orientačního testu, zároveň v případě zjištění základní neznalosti pojmu či tvrzení z požadavků ke zkoušce může být i u ústní části udělena známka nevyhověl.

Syllabus -
Last update: T_KMA (22.05.2003)

1) Exponential of a matrix. Basic properties (similarity of matrices, eigenvectors, exponential of a sum). The relation Tr A = det exp A . Examples (Taylor polynomial, exponential of a commutator)

2) Elementary introduction to Lie algebras. Examples: gl, sl, o, u, su. Isomorphism of vector multiplication resp. commutation in o(3).

3) Nilpotent operators. Basic theorem on their structure and Jordan basis

4) Direct decomposition of a complex vector space according to its spectrum, Jordan theorem. Hamilton Cayley theorem. Exponential of a Jordan cell, applications to systems of linear differential equations with constant coefficients (and special choices of "external forces")

5) Positive and stochastic matrices, interpertation of their spectral radius, applications

6) Dual space, dual bases and operators

7) Duality and scalar product: Adjoint operator, normal operators. Adjoint differential operators and the method of per partes.

8) Spectral decomposition of a normal operator. Examples, Legendre and Hermite polynomials

9) Bilinear and quadratic forms, their diagonalization by a) change of cooordinates (method by "completing the squares") b) Jacobi Sylvester orthogonalization method c) diagonalization by spectral decomposition. Signature

10) Quadratic surfaces and conic sections, their classification (hyperboloids, elipsoids, paraboloids) and basic properties. Projective space.

11) Polar decomposition of an operator

12) Pseudoinverse of a matrix

13) Tensor product of linear spaces, definition, examples, "decomposable" tensors

14) Transformation rules for tensors, covariant and contravariant indices, summation convention

15) Tensor product of tensors, trace of a tensor. Tensors and scalar products, representation of covariant tensors by contravariant ones

16) Symmetric tensors, symmetrization of a (product of) tensor(s)

17) Antisymmetric tensors, antisymmetrization, exterior (Grassmann) algebra. The notion of a k-dimensional volume in n -dimensional vector space. Gramm matrix and the Gramm determinant (for general, non square matrix)

 
Charles University | Information system of Charles University | http://www.cuni.cz/UKEN-329.html