Numerical Methods for Physicists - NMAF018

• Title: Numerické metody pro fyziky
• Guaranteed by: Institute of Physics of Charles University (32-FUUK)
• Faculty: Faculty of Mathematics and Physics
• Actual: from 2022
• Semester: winter
• E-Credits: 5
• Hours per week, examination: winter s.:2/1, C+Ex [HT]
• Capacity: unlimited
• Min. number of students: unlimited
• 4EU+: no
• Virtual mobility / capacity: no
• State of the course: cancelled
• Language: Czech
• Teaching methods: full-time
• Teaching methods: full-time
• Guarantor: doc. RNDr. Jiří Bok, CSc.
• Classification: Physics > Mathematics for Physicists

Annotation

Last update: T_FUUK (14.05.2004)

Základní i pokročilé numerické metody, užité převážně pro zpracování experimentálních dat

Literature

Last update: RNDr. Pavel Zakouřil, Ph.D. (05.08.2002)

A.Ralston: Úvod do numerické matematiky. SNTL, Praha, 1973

W.H.Press, S.A.Teukolsky, W.T.Vetterling, B.P.Flannery: Numerical Recipes in FORTRAN - the Art of Scientific Computing, Second Edition, Cambridge University Press, 1992

Syllabus

Last update: T_FUUK (14.05.2004)

1. POČETNÍ CHYBY, VÝPOČTY NA POČÍTAČI
Vývoj numerické matematiky. Absolutní a relativní chyba, platná místa. Chyba metody, zaokrouhlovací chyby. Zvláštnosti aritmetiky na počítači. Čtyři význačné projevy zaokrouhlovacích chyb (ztráta platných cifer, "rozmazání", numerická nestabilita, špatně podmíněné úlohy).

2. ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC
Klasifikace rovnic. Metody přímé a iterační. Metoda půlení intervalu, prostá iterační metoda, Newtonova metoda, metoda sečen. Soustavy nelineárních rovnic.

3. NUMERICKÁ INTEGRACE
Metody Newton - Cotesovy a Gaussovy. Richardsonova extrapolace a Rombergova integrace.

4. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC
Úlohy lineární algebry. Gaussova eliminace, trojúhelníkový rozklad, Choleského dekompozice. Kondiční číslo matice, špatně podmíněné úlohy. Singulární rozklad.

5. METODA NEJMENŠÍCH ČTERCŮ ? LINEÁRNÍ PŘÍPAD
Aproximace funkcí (interpolace, v Čebyševově smyslu, ve smyslu nejmenších čtverců). "Odvození" MNČ z principu max. věrohodnosti. Soustava normálních rovnic s obecnými bázovými funkcemi. Speciální případy.

6. METODA NEJMENŠÍCH ČTERCŮ ? LINEÁRNÍ PŘÍPAD S VÁHAMI
Zavedení váhových faktorů. Neurčitosti nalezených parametrů. MNČ v případě chyb v obou proměnných. Užití SVD jako alternativy k řešení soustavy normálních rovnic, výhody singulárního rozkladu. Robustní metody.

7. METODA NEJMENŠÍCH ČTERCŮ ? NELINEÁRNÍ PŘÍPAD
Linearizace některých speciálních modelových funkcí a její úskalí. Typické nelineární funkce v optické spektroskopii. Obecné metody minimalizace, Marquardtova metoda. Užití náhodných čísel pro stanovení neurčitostí parametrů.

8. NÁHODNÁ ČÍSLA
Příklady náhodných veličin, metody generace náhodných čísel. Testování generátorů náhodných čísel, chí-kvadrát test.

9. METODY MONTE CARLO
Simulace, numerické úlohy.

10. FOURIEROVA TRANSFORMACE
Fourierovy řady, spojitá a diskrétní Fourierova transformace. Gibbsův jev. Fourierova transformace periodických a neperiodických funkcí. Vzorkování, Nyquistova frekvence, aliasing. Určení frekvencí přítomných v signálu z výkonového spektra. Rychlá Fourierova transformace.

11. DEKONVOLUCE
Vliv aparatury na měřené veličiny (optická spektroskopie, astronomická fotografie), přístrojová funkce. Metody dekonvoluce: inverzní Fourierova transformace, metoda Van Cittertova a Janssonova. Metoda maximální entropie.

12. FAKTOROVÁ ANALÝZA
Klasifikace metod, historie vzniku. Metoda analýzy hlavních os (PCA) a "skutečná" faktorová analýza. Matematické metody, příklady aplikací.