Selected Topics on Mathematics for Physicists - NMAF006

• Title: Vybrané partie z matematiky pro fyziky
• Guaranteed by: Department of Mathematical Analysis (32-KMA)
• Faculty: Faculty of Mathematics and Physics
• Actual: from 2023
• Semester: summer
• E-Credits: 3
• Hours per week, examination: summer s.:2/0, Ex [HT]
• Capacity: unlimited
• Min. number of students: unlimited
• 4EU+: no
• Virtual mobility / capacity: no
• State of the course: taught
• Language: Czech
• Teaching methods: full-time
• Additional information: http://www.karlin.mff.cuni.cz/~rokyta/vyuka.html
• Guarantor: doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc.
• Classification: Physics > Mathematics for Physicists
• Comes under: Doporučené přednášky 1/2

Annotation

English

An introduction to functional analysis, operator theory and special functions for physicists. It is the sequel to the basic 5-semester course of mathematics for physicists.

Last update: Rokyta Mirko, doc. RNDr., CSc. (18.02.2013)

Czech

Elementy funkcionální analýzy, operátorového počtu a speciálních funkcí pro fyziky. Navazuje na základní pětisemestrální kurz z matematiky pro fyziky.

Last update: Rokyta Mirko, doc. RNDr., CSc. (18.02.2013)

Course completion requirements

Zkouška z předmětu je pouze ústní. Každý uchazeč si vylosuje dvě otázky ze seznamu cca 14 otázek, který bude k dispozici ke konci semestru, obecně vždy na příslušném odkazu na stránce http://www.karlin.mff.cuni.cz/~rokyta/vyuka.html. Otázky pokrývají přednesenou látku. Odpovědi na otázky si bude možno připravit (cca 20 minut).

Last update: Rokyta Mirko, doc. RNDr., CSc. (17.05.2024)

Literature

English

J. Lukeš: Zápisky z funkcionální analýzy, skriptum MFF UK, Karolinum, 1998

P. Čihák, M.Rokyta a kol.: Matematická analýza pro fyziky (V), skriptum MFF UK, Matfyzpress 2003

K. Najzar: Funkcionální analýza, skriptum MFF UK, SPN, 1981

Last update: T_KMA (15.05.2008)

Czech

J. Lukeš: Zápisky z funkcionální analýzy, skriptum MFF UK, Karolinum, 1998

P. Čihák, M.Rokyta a kol.: Matematická analýza pro fyziky (V), skriptum MFF UK, Matfyzpress 2003

K. Najzar: Funkcionální analýza, skriptum MFF UK, SPN, 1981

Last update: Rokyta Mirko, doc. RNDr., CSc. (17.05.2024)

Syllabus

English

1. Basic facts on operators
Banach and Hilbert spaces. Operators and functionals, linear and nonlinear. Boundedness, continuity. Operator norm. Von Neumann series.

2. An introduction to spectral analysis
Eigenvalues, spectrum, resolvent set, spectral radius.

3. Compact operators
Compact operators, spectrum.

4. Dual and adjoint operators
Duality, dual operatost, dual spaces, representation theorems. Adjoint and self-adjoint operator, Hermite operator, their spectrum. Eigenfunction bases.

5. Unbounded operators.
Unbounded operator, closed operator. Differential operators.

6. Special functions and polynomials
Bases in Hilbert space, polynomial bases. Recurrent formulas for orthogonal polynomials. Special functions: Legendre, Laguerre, Hermite polynomials, hypergeometric series.

Last update: Rokyta Mirko, doc. RNDr., CSc. (07.05.2018)

Czech

1. Operátorová trivia
Vektorové prostory, LN množina, báze. Banachův a Hilbertův prostor. Operátory a funkcionály. Omezenost, spojitost, linearita operátoru. Operátorová norma. Von Neumannova řada operátoru.

2. Základy spektrální analýzy
Vlastní čísla operátoru, spektrum, resolventní množina, bodové, spojité a reziduální spektrum. Spektrální poloměr. Stavy operátoru.

3. Kompaktní operátory
Kompaktní operátory. Spektrum kompaktního operátoru. Stavy kompaktního operátoru.

4. Duálnost a adjungovanost
Duální operátory a prostory, dualita. Rieszova věta. Adjungovaný operátor, samoadjungovaný operátor. Báze složená z vlastních vektorů.

5. Neomezené operátory
Neomezené operátory. Samoadjungovaný a symetrický operátor. Uzavřený operátor, prostota, spektrum. Definiční obor neomezeného operátoru. Diferenciální operátory.

6. Speciální polynomy a funkce
ON báze v Hilbertově prostoru L2 s vahou, složená z polynomů. Každý systém ortogonálních polynomů musí mít nějaký rekurentní vzorec. Speciální funkce: polynomy Legendreovy, Laguerrovy, Hermitovy, hypergeometrické řady.

Last update: Rokyta Mirko, doc. RNDr., CSc. (17.05.2024)

Entry requirements

Znalosti na úrovni čtyřsemestrálního kurzu z matematiky resp. matematické analýzy pro fyziky.

Last update: Rokyta Mirko, doc. RNDr., CSc. (17.05.2024)