Ordinal and cardinal numbers, well-founded relations, isomorphism
theorem, reflection principle. Transitive models, constructible
sets, ultrapowers, measurable cardinals, Scott's theorem. Forcing
and Boolean-value models, a consistency of negation of the
continuum hypothesis. Nonstandard set theory, axiom of
superuniversality, elementary embedding of the universe into a
transitive class, standard, internal and external sets.
Last update: ()
Obsahem přednášky je výklad jak "klasické" (Zermelo-Fraenkelovy) teorie
množin, tak i "neregulární" a nestandardní teorie množin. V prvém případě jde
zejména o studium vnitřních modelů či interpretací, jakými jsou třída L
konstruovatelných množin, ultramocnina univerzální třídy a generické rozšíření.
Ve druhém se konstruuje netriviální elementární vnoření neregulárního univerza
do transitivní třídy, na základě čehož jsou vyloženy nestandardní pojmy,
principy a jejich některé aplikace.
Aim of the course -
Last update: RNDr. Jan Hric (07.06.2019)
To learn basic set theory
Last update: RNDr. Jan Hric (07.06.2019)
Naučit základy teorie množin
Course completion requirements -
Last update: RNDr. Jan Hric (07.06.2019)
Oral exam
Last update: RNDr. Jan Hric (07.06.2019)
Ústní zkouška
Literature - Czech
Last update: RNDr. Pavel Zakouřil, Ph.D. (05.08.2002)
B. Balcar, P. Štepánek: Teorie množin, Academia, Praha 1986
K.D. Stroyan, W.A.J. Luxemburg: Introduction to the theory of infinitesimals, Academic Press, New York, 1967
Syllabus -
Last update: T_KTI (19.05.2004)
Ordinal and cardinal arithmetic. The axiom of regularity. The cummulative hierarchy of sets.
Well-founded relations and induction. Collapsing theorems. Transitive models. Constructible sets.
Consistence of the axiom of choice and the generalization continuum hypothesis.
Ultrapowers and elementary embeddings. Measurable and inaccessible cardinals.
Bulean-valued models, generic extensions. Independence of the continuum hypothesis.
Non-regular set theory with strong choice and with the axiom of superuniversality. Nonstandard methods.
Applications.
Last update: ()
Doporučení: Základní kurz teorie množin.
Ordinální a kardinální aritmetika. Fundované jádro WF teorie množin, nedokazatelnost existence nedosažitelného kardinálu. Fundovaná rekurze, extenzionální a fundované relace, vety o kolapsu. Tranzitivní (vnitrní) modely, absolutnost, Lévyho princip reflexe. Univerzum L konstruovatelných množin. Platnost silného axiomu výběru a zobecněné hypotézy kontinua v L. Ultramocnina univerzální trídy (jako interpretace teorie ZFC v ZFC). Ultramocnina univerzální třídy podle míry (tj. podle měřitelného kardinálu). Elementární vnoření do tranzitivní třídy. Neexistence míry v L. Normální míra. Další vlastnosti ultramocniny. Booleovské modely: booleovské univerzum a rozšíření M[G], booleovské hodnoty formulí, generické rozšíření, věta o forcingu a generickém rozšíření. Věty o podmnožinách, kardinálech a kofinalitách v generickém rozšíření. Cantorovy algebry, bezespornost ZFC + negace hypotézy kontinua. Bezespornost ZFC + #konstruovatelné omega 1 je spočetné\". Elementární vnoření a reflexe v teorii ZFS* = ZFC - axiom regularity + axiom silného výběru + axiom superuniverzality. Nestandardní pojmy a principy. Aplikace: nestandardní analýza, topologie, teorie míry. Princip kompaktnosti, ramseyovská kombinatorika. Bezespornost teorie ZFS* a její další vlastnosti.
