Existence and unicity theorems, global existence, continuous and differentiable dependence on initial conditions and parameters, linear systems and linear equations of the n-th order. Autonomous equations, dynamical systems.
Periodic and bounded solutions of linear systems, Floquet theory.
Lyapunov stability, linearization theorems, Lyapunov functions, La Salle principle.
Topological equivalence of linear systems; Hartman-Grobman theorem; stable, unstable, central manifolds.
Bifurcation from the equilibrium, normal forms.
Boundary value problems for the second order linear equations.
Last update: G_M (04.05.2010)
Existence řešení a jeho závislost na počátečních podmínkách.
Lokální chování řešení, stabilní a nestabilní varieta, centrální varieta a její aproximace, aplikace na stabilitu, Hopfova
bifurkace.
Okrajové úlohy : symetrické diferenciální operátory, Greenova funkce, Sturmovy srovnávací věty, spektrum
Sturmova-Liouvilleova operátoru a jeho vlastní funkce, ortogonální rozvoje.
Syllabus -
Last update: G_M (04.05.2010)
General existence and uniqueness theorem, dependence on initial conditions and parameters, differential inequalities.
Local behaviour of a solution, equivalence of systems in a neighborhood of a nonstationary point, equivalence of
Orbital stability. Stable and unstable manifold, elementary bifurcations. Boundary value problem for ODE, Green function, Sturm-Liouville problem.
Last update: T_KMA (23.09.2013)
Dynamický systém. Orbit, stacionární bod, invariantní množina. Alfa- a omega-limitní množina a její vlastnosti. La Salleho princip invariance. Konjugované dynamické systémy. Lemma o rektifikaci. Poincaré-Bendixsonova teorie v rovině. Bendixson-Dulacovo kritérium neexistence periodických řešení.
Carathéodoryho teorie - pojem absolutně spojitých řešení, jejich lokální existence a jednoznačnost.
Optimální regulace. Kalmanova matice, regulovatelnost a pozorovatelnost lineárních úloh. Lokální regulovatelnost nelineárních úloh. Stabilizovatelnost. Časově optimální regulace. Pontrjaginův princip maxima. Regulace typu "bang-gang". Obecná verze principu maxima.
Bifurkace. Základní typy bifurkací: sedlo-uzel, transkritická, vidličková. Postačující podmínky existence bifurkací. Hopfova bifurkace: věta o existenci a stabilitě (bez důkazu).
Stabilní, nestabilní a centrální variety. Princip invariance a jeho ekvivalentní vyjádření. Existence centrální variety. Aproximace centrální variety. Princip redukované stability. Hartman-Grobmanova věta (bez důkazu).
