The course gives a brief overview of some classical results on modular and integral representations of finite groups.
Last update: T_KA (19.05.2009)
Přednáška podává stručný přehled klasických výsledků teorie modulárních a integrálních reprezentací konečných grup.
Last update: T_KA (19.05.2009)
Literature -
1. Charles W. Curtis, Irving Reiner: Representation theory of finite groups and associative algebras, John Wiley & Sons, New York, 1988.
2. Walter Feit: The representation theory of finite groups, North-Holland mathematical library, Amsterdam, 1982
3. Steven H. Weintraub: Representation Theory of Finite Groups: Algebra and Arithmetic (Graduate Studies in Mathematics, Vol. 59), AMS, Providence 2003.
Last update: T_KA (19.05.2009)
1. Charles W. Curtis, Irving Reiner: Representation theory of finite groups and associative algebras, John Wiley & Sons, New York, 1988.
2. Walter Feit: The representation theory of finite groups, North-Holland mathematical library, Amsterdam, 1982
3. Steven H. Weintraub: Representation Theory of Finite Groups: Algebra and Arithmetic (Graduate Studies in Mathematics, Vol. 59), AMS, Providence 2003.
Last update: T_KA (19.05.2009)
Syllabus -
1. Summary of some results from algebraic number theory and commutative algebra. Tensor product of algebras.
2. Further results on induced representations. Theorem of Artin and Brauer giving expressions of a character as a combination of induced characters. Any complex representation of a finite group G is defined over the exp(G)-th cyclotomic field.
3. Very basic methods from modular representation theory. Composition series, Jacobson radical, finite representation type. Brauer characters and their relation to composition series. Blocks.
4. Integral representations of finite groups. Lattices, the notion of finite representation type for integral representation. Representation type of cyclic groups. The relation between K_0(Z[C_n]) and the ideal class group of cyclotomic integers. Integral representations from the point of view of the representation theory of artin algebras, Klinger-Levy programme.
5. Local-global methods in integral representation theory. Jordan-Zassenhaus theorem, genus. Projective modules over Z[G], a theorem of Swan. Induced indecomposable representations, Green correspondence.
6. (only informatively) Some aspects of representation theory of compact groups or the theory of maximal orders.
Last update: T_KA (19.05.2009)
1. Shrnutí potřebných výsledků z algebraické teorie čísel a komutativní algebry. Tenzorový součin algeber.
2. Další poznatky o indukovaných reprezentacích. Věty Artina a Brauera o vyjádření charakteru pomocí charakterů indukovaných reprezentací. Každá komplexní reprezentace konečné grupy G je definovaná nad exp(G)-tým cyklotomickým tělesem.
3. Základní poznatky o modulárních reprezentacích. Kompoziční řady, Jacobsonův radikál, konečný reprezentační typ. Brauerovy charaktery, vztah Brauerových charakterů a kompozičních řad. Bloky.
4. Integrální reprezentace konečných grup. Mříže, pojem konečného typu pro integrální reprezentace. Reprezentační typ cyklické grupy. Vztah K_0(Z[C_n]) a třídové grupy ideálů okruhu cyklotomických celých čísel.
Pohled na integrální reprezentace z pozice teorie reprezentací artinovských algeber, program Klingera a Levyho.
5. Lokálně-globální metody v integrálních reprezentacích. Věta Jordanova-Zassenhausova, genus. Projektivní moduly nad Z[G], Swanova věta. Indukce nerozložitelných reprezentací, Greenova korespondence.
6. (pouze informativně pokud zbude čas) Nesmělé nahlédnutí do reprezentací kompaktních grup nebo nekomutativní teorie čísel.
