This seminar expands on the material of the course Algebra II. It includes topics from number theory, algebraic geometry, and computer algebra.
Last update: T_KA (19.05.2010)
Seminář určený k procvičení a doplnění látky přednášky NALG027. Doplňující témata jsou z teorie čísel, algebraické
geometrie a počítačové algebry.
Literature -
Last update: T_KA (19.05.2010)
D.Eisenbud, Commutative Algebra, 3rd Corrected Printing Springer, New York 1997.
S.Lang, Algebra, Revised 3rd ed., GTM 211, Springer, New York, 2002.
N. Lauritzen, Concrete Abstract Algebra, Cambridge Univ. Press, Cambridge 2003.
L.Procházka a kol., Algebra, Academia, Praha 1990 (in Czech).
Last update: T_KA (19.05.2010)
D.Eisenbud, Commutative Algebra, 3rd Corrected Printing Springer, New York 1997.
S.Lang, Algebra, Revised 3rd ed., GTM 211, Springer, New York, 2002.
N. Lauritzen, Concrete Abstract Algebra, Cambridge Univ. Press, Cambridge 2003.
L.Procházka a kol., Algebra, Academia, Praha 1990.
Syllabus -
Last update: T_KA (19.05.2010)
1. Divisibility; its algebraic, geometric, and number theoretic aspects:
1.1 Domains of algebraic numbers. 1.2 Gauss Lemma. Polynomials over UFD?s. 1.3 Irreducibility criteria. 1.4 Consequences of the Hilbert Basis Theorem, algebraic sets and varieties, radical ideals and prime ideals.
2. Groebner bases:
2.1 Systems of polynomial equations. 2.2 Groebner bases, their unicity. 2.3 Existence of Groebner bases, S-polynomials and the Buchberger algorithm. 2.4 Applications of Groebner bases.
3. Finite fields and linear codes:
3.1 Properties of finite fields.
Supplementary topics: Introduction to linear codes, cyclic codes.
Last update: T_KA (19.05.2010)
1. Dělitelnost a její algebraické, geometrické a číselně-teoretické aspekty:
1.1 Příklady oborů algebraických čísel.
1.2 Gaussovo lemma. Polynomy nad Gaussovými obory integrity.
1.3 Kritéria ireducibility polynomů.
1.4 Důsledky Hilbertovy věty o bázi, elementy algebraické geometrie: algebraické množiny a variety, radikálové ideály a prvoideály.
2. Groebnerovy báze:
2.1 Řešení soustav polynomiálních rovnic.
2.2 Groebnerovy báze, jejich jednoznačnost.
2.3 Existence Groebnerových bází, S-polynomy a Buchbergerův algoritmus.
2.4 Užití Groebnerových bází.
3. Konečná tělesa a lineární kódy:
3.1 Vlastnosti konečných těles.
Rozšiřující téma: Úvod do lineárních kódů, cyklické kódy.
