A basic course of the representation theory, which is one of important and powerful theories in mathematics and physics of the 20th century. Notions of Lie groups and Lie algebras are introduced and the relations between these objects, homomorphisms and representations explained. Basic types of Lie algebras (nilpotent, solvable, simple) expalined, major attention is paid to the representations of semisimple algebras. Notions of Cartan subalgebra, weights, roots, used to classify the representations and the algebras. The Clifford algebra is defined and the so-called spinors and the Spin-group
Last update: T_MUUK (23.05.2003)
Základní kurs teorie reprezentací, která je jednou z důležitých a mocných teorií v matematice a fyzice 20. století. Zavádějí se pojmy Lieovy grupy, Lieovy algebry, je vyjasněn vztah mezi nimi a mezi jejich homomorfismy a reprezentacemi. Jsou uvedeny základní typy a příklady Lieových algeber (nilpotentní, řešitelné, jednoduché) a největší pozornost se věnuje reprezentacím tzv. polojednoduchých algeber. Zavádějí se pojmy Cartanovy podalgebry, vah, kořenů, jejichž pomocí se provede úplná klasifikace reprezentací i algeber samotných. Definuje se též Cliffordova algebra, spinory a Spin-grupa.
Syllabus -
Last update: T_MUUK (23.05.2003)
Lie algebra, homomorphisms of Lie algebra. Left-invariant vector fields on Lie groups, Lie algebra of a Lie group, one-parametric subgroups of a Lie group, exponential map. Correspondence between homomorphisms of Lie groups and homomorphisms of Lie algebras. Basic facts on representations of Lie groups and algberas (restrictions of representations, factor-representation, contragredient representation, sum and tensor product of representations, intertwining maps, isomorphism of representations). Irreducible representations of simple Lie algebras (classification of representations of sl(2,C), Cartan subalgebras, roots, positive roots, simple roots, weights, weight lattice, Weyl chambers, dominant weights, fundamental weights). Classification of irreducible representations of four classical series, construction of fundamental representations, spinor representations,. Dynkin diagrams, classification of complex simple Lie algebras.
Last update: ()
Lieova grupa,homomorfismus Lieových grup,representace Lieovy grupy. Lieova algebra,příklady Lieových grup a algeber,homomorfismus Lieových algeber.Levoinvariantní vektorová pole na Lieově grupě,Lieova algebra Lieovy grupy,jednoparametrická podgrupa Lieovy grupy,zobrazení exp z Lieovy algebry do Lieovy grupy a jeho vlastnosti.Korespondence mezi homomorfismy Lieových grup a homomorfismy jejich Lieových algeber. Základní fakta o representacích Lieových grup a algeber-restrikce representace,faktorová representace,duální representace,součet a tensorový součin representací,splétající zobrazení,isomorfní representace, rozložitelné a ireducibilní representace. Klasifikace representací sl(2,C).Schéma klasifikace irreducibilních representací jednoduchých algeber - Cartanova podalgebra,kořeny, volba částečného uspořádání,kladné a záporné kořeny,jednoduché kořeny,váha representace,váhová mříž,Weylovy komory,dominantní váhy, fundamentální váhy. Klasifikace representací pro čtyři základní řady klasických (komplexních) jednoduchých algeber,konstrukce ireducibilních representací odpovídajících fundamentálním vahám,spinorové representace. Dynkinovy diagramy kořenových systémů,klasifikace jednoduchých (komplexních) Lieových algeber pomocí Dynkinových diagramů.
