Is a continuation of the course MatC2, the main focus will be improper integral, series and the calculus of functions of several variables.
Last update: Hladíková Hana, RNDr., Ph.D. (19.08.2025)
Cílem je získat znalosti potřebné ke studiu odborných předmětů. Diferenciální počet. Skalární a vektorové pole. Dvojné a trojné integrály. Nekonečné řady
Last update: Hladíková Hana, RNDr., Ph.D. (26.11.2019)
Literature - Czech
Základní literatura:
Kotvalt, V.: Základy matematiky pro přírodovědné obory. Karolinum, 2008.
Štědrý, M.: Sbírka úloh k matematice pro geografy. Karolinum, 2006.
N. Krylová, M. Štědrý: Sbírka příkladů z matematiky I. PřF UK, Praha 1994.
D. Turzík a kolektiv: Matematika II ve strukturovaném studiu II. VŠCHT, Praha 2014 (také 2005, 2002, 1998).
Budínský, B.: Analytická a diferenciální geometrie. SNTL, 1983
J. Hamhalter, J. Tišer: Diferenciální počet funkcí více proměnnných. Skripta ČVUT, 2005.
J. Hamhalter, J. Tišer: Integrální počet funkcí více proměnnných. Skripta ČVUT, 2005.
Last update: Hladíková Hana, RNDr., Ph.D. (26.11.2019)
Requirements to the exam - Czech
Zápočet lze získat za aktivní účast na cvičení a na základě úspěšného zápočtového testu.
Ke zkoušce se lze přihlásit až po získání zápočtu. Zkouška v každém termínu je kombinovaná a začíná písemnou částí. Pokud se v řádném nebo prvním opravném termínu nezíská v písemné části aspoň 55 % bodů, je hodnocení zkoušky neprospěl/neprospěla. Při druhém opravném termínu následuje po písemné části ústní zkouška, ať je výsledek písemné části jakýkoliv.
Last update: Hladíková Hana, RNDr., Ph.D. (17.02.2025)
Syllabus -
Differential calculus of several variables: the metric space En, vector-valued function of several variables, limits and continuity, partial derivatives and differentials, chain rules, the gradient, directional derivatives, Taylor´s theorem, extreme values, differentiation of implicit functions.
Multiple integral: double and triple integrals, evaluation - iterated integrals, integration in polar, cylindrical and spherical coordinates, applications.
Calculus of vector fields: vector fields, basic curves and surfaces in the space, conservative vector fields and potencial functions, applications of line integrals.
Sequences and serier: convergence properties of sequences, infinit series of constants, nonnegative series - the integral, the comparison and the ratio tests, alternating series and absolute convergence, power series, Taylor series.
Last update: Hladíková Hana, RNDr., Ph.D. (26.11.2019)
Diferenciální počet funkcí více reálných proměnných: Euklidovský prostor En, metrika; parciální derivace, gradient, totální diferenciál, derivace složených funkcí více proměnných; extrémy funkcí dvou proměnných.
Dvojný a trojný integrál. Substituce v dvojném integrálu. Polární souřadnice. Substituce v trojném integrálu. Válcové a sférické souřadnice. Použití dvojného a trojného integrálu.
Vektorová funkce jedné a dvou proměnných. Křivka, tečna, délka křivky. Plocha, tečná rovina. Gradient. Derivace v daném směru. Potenciální pole, potenciál.
Nekonečné řady. Řada konvergentní, divergentní. Základní kritéria konvergence. Absolutně konvergentní řada, neabsolutně konvergentní řada. Mocninná řada. Poloměr konvergence; derivování a integrování mocninné řady. Taylorova řada.
Diferenciální rovnice: pojem řešení obyčejné diferenciální rovnice; počáteční úloha; diferenciální rovnice 1. řádu se separovatelnými proměnnými; lineární diferenciální rovnice 1.řádu – věta o existenci jednoznačnosti řešení počáteční úlohy, výpočet řešení metodou variace konstanty nebo metodou odhadu; jednoduché aplikace diferenciálních rovnic 1. řádu.
Last update: Hladíková Hana, RNDr., Ph.D. (19.08.2025)
Learning outcomes -
The student will be able to:
Functions of Several Variables
Define and interpret functions of several variables
Compute partial derivatives and the gradient
Apply directional derivatives and the total differential
Use the chain rule for composite functions
Find local extrema using second derivatives
Apply the implicit function theorem
Taylor Polynomial and Approximation
Construct Taylor polynomials for functions of one or more variables
Estimate approximation error using the remainder of the Taylor series
Use polynomials for local approximation of functions
Integral Calculus
Work with improper integrals and determine their convergence
Compute double and triple integrals in various coordinate systems
Apply Fubini’s theorem and change of variables
Evaluate line integrals of the first and second kind
Interpret integrals geometrically and physically
Vector Analysis
Work with vector fields, gradient, divergence, and curl
Series
Analyze numerical series and determine their convergence
Work with power series and determine their radius of convergence
Construct Taylor series for functions and determine the interval of convergence
Expand functions into Fourier series and interpret their significance
Differential Equations
Recognize types of ordinary differential equations (ODEs)
Use methods such as separation of variables and variation of constants for first-order ODEs
Interpret solutions in the context of real-world applications
Last update: Hladíková Hana, RNDr., Ph.D. (19.08.2025)
Výsledky učení podle témat
Student bude schopen:
1. Funkce více proměnných
- definovat a interpretovat funkce více proměnných,
- spočítat parciální derivace a gradient,
- aplikovat směrovou derivaci a totální diferenciál,
- použít řetězové pravidlo pro složené funkce,
- nalézt lokální extrémy pomocí druhých derivací,
- aplikovat větu o implicitní funkci.
2. Taylorův polynom a aproximace
- sestrojit Taylorův polynom funkce jedné i více proměnných,
- odhadnout chybu aproximace pomocí zbytku Taylorovy řady,
- použít polynomy k lokální aproximaci funkcí.
3. Integrální počet
- pracovat s nevlastními integrály a určit jejich konvergenci,
- vypočítat dvojný a trojný integrál v různých souřadnicích,
- aplikovat Fubiniho větu a změnu proměnných,
- vypočítat křivkový integrál prvního a druhého typu,
- interpretovat integrály geometricky a fyzikálně.
4. Vektorová analýza
- pracovat s vektorovými poli, gradientem, divergencí a rotací,
5. Řady
- analyzovat číselné řady a určit jejich konvergenci,
- pracovat s mocninnými řadami a určit jejich poloměr konvergence,
- sestrojit Taylorovu řadu funkce a určit interval konvergence.
7. Diferenciální rovnice
- rozpoznat typy obyčejných diferenciálních rovnic (ODR),
- použít pro diferenciální rovnice prvního řádu metody separace proměnných a variaci konstant,
- interpretovat řešení v kontextu reálných aplikací.
Last update: Hladíková Hana, RNDr., Ph.D. (19.08.2025)
