In this lecture for one semester the basic facts are explained about
smooth manifolds, vector fields and tensor fields, affine connections,
torsion, curvature, parallelism and geodesics.
Further, Riemannian metrics on manifolds and canonical connections belonging
to Riemannian metrics, extremal properties of geodesics, sectional curvature.
Last update: KOWALSKI/MFF.CUNI.CZ (28.03.2008)
Přednáška je úvodem do teorie prostorů s afinní konexí a speciálně do geometrie
Riemannových variet. Pojem afinní konexe umožňuje zobecnit pojmy rovnoběžnosti a rovnoměrného přímočarého pohybu známé z euklidovské geometrie na případ zakřivených prostorů. Příslušné obecné pojmy jsou pak paralelní přenos vektorů podél křivek a geodetické křivky. Pojem Riemannovy variety zobecňuje pojem plochy v euklidovském prostoru s tím, že je studována pouze tak zvaná vnitřní geometrie příslušného útvaru, kde není třeba uvažovat vložení do některého euklidovského prostoru. Každá Riemannova varieta připouští význačnou afinní konexi, tzv. Riemannovu konexi a odtud se odvozuje většina geometrických vlastností. Celý přístup je v souladu s fyzikálním pohledem na náš vesmír a užité matematické prostředky jsou běžně aplikovány v teoretické fyzice.
Aim of the course -
Last update: KOWALSKI/MFF.CUNI.CZ (28.03.2008)
The goal of this lecture is to acquain the students with one of the basic techniques of the Mathematical Physics.
Last update: KOWALSKI/MFF.CUNI.CZ (28.03.2008)
Cílem předmětu je seznámit studenty s jednou ze základních technik matematické fyziky.
Literature - Czech
Last update: KOWALSKI/MFF.CUNI.CZ (28.03.2008)
1) O. Kowalski: Základy Riemannovy geometrie , skripta, 2. vydání, vydavatelství Karolinum, 2001.
2) S. Helgason: Differencial´naja geometrija i simmetričeskije prostranstva (překlad z angličtiny), Izd. MIR, Moskva 1964 (Kapitola 1)
3) S.Kobayashi and K.Nomizu, Foundations of Differential geometry I, II, Interscience Publishers 1963, 1969.
4) S. Helgason, Differential Geometry, Lie Groups and Symmetric Spaces, Academic press, 1978.
5) R.L.Bishop, R.J.Crittenden, Geometry of Manifolds, AMS Chelsea Publishing, 2001.
Teaching methods -
Last update: KOWALSKI/MFF.CUNI.CZ (28.03.2008)
The method of teaching is the standard lecture.
Last update: KOWALSKI/MFF.CUNI.CZ (28.03.2008)
Metodou výuky je standardní přednáška.
Syllabus -
Last update: T_MUUK (22.05.2006)
Basic notions from general topology. Topological and differentiable manifolds, maps between manifolds. Submanifolds in the Euclidean space. Tangent spaces, tangent maps, vector fields, Lie bracket of vector fields.
Affine connection on a manifold as differentiation of vector fields. The Levi-Civita connection on a manifold in R^n. The parallel transport along curves, geodesic curves - definitions and existence theorems. Exponential map at a point. The torsion tensor field and the curvature tensor field, its geometric meaning.
Riemannian (pseudo-Riemannian) metric, the induced structure of a metric space. The Riemannian connection - existence and uniqueness, relationship with the Levi-Civita connection (on a submanifold with induced metric). The Gaussian formula and its geometric interpretation for surfaces - Gauss theorem. The Gauss curvature of a surface. The sectional curvature of a Riemannian manifold, spaces with constant curvature. Extremal properties of geodesics. Global properties of geodesics on a complete Riemannian manifold.
Possible extension: Divergence, gradient and Laplace operator on a Riemannian manifold.
Last update: T_MUUK (22.05.2006)
Základní pojmy z množinové topologie. Topologické a diferencovatelné variety, zobrazení variet. Podvariety v euklidovském prostoru. Tečné prostory, tečné zobrazení, vektorová pole, Lieova závorka vektorových polí.
Afinní konexe na varietě jako operace derivování na vektorových polích. Levi-Civitova konexe na podvarietě v . Paralelní přenos podél křivek a geodetické křivky -- definice a existenční věty. Exponenciální zobrazení v bodě. Tenzorová pole torze a křivosti afinní konexe, jejich geometrický význam.
Riemannova (pseudo-Riemannova) metrika, indukovaná struktura metrického prostoru. Riemannova konexe -- existence a jednoznačnost, souvislost s~Levi-Civitovou konexí (na podvarietě v s indukovanou metrikou). Gaussova formule a její geometrická interpretace pro plochy -- Gaussova věta. Gaussova křivost plochy. Sekcionální křivost Riemannovy variety, prostory s konstantní křivostí. Extremální vlastnosti geodetik. Globální vlastnosti geodetik na úplné Riemannově varietě.
