The lecture is devoted to the introduction to complex analysis.
Last update: T_KMA (15.05.2001)
Pokračování základních přednášek z matematické analýzy pro učitelské studium. Doporučuje se současný zápis předmětu Seminář z komplexní analýzy, kde bude látka doplňována a procvičována.
Last update: T_KMA (28.05.2002)
Literature - Czech
J. Veselý: Komplexní analýza pro učitele. Karolinum, Praha 2000
B. Novák: Funkce komplexní proměnné (pro učitelské studium MFF), SPN, Praha
I. Černý: Základy analysy v komplexním oboru, Academia, Praha
W. Rudin: Reálná a komplexní analýza, Academia, Praha
Last update: Zakouřil Pavel, RNDr., Ph.D. (05.08.2002)
Syllabus -
1. Complex field C, complex functions of real variable. Complex functions of complex variable, derivative, Cauchy-Riemann equations. Riemann sphere.
2. Holomorphic functions. Elementary functions (linear fractional transformations, exp, sin, cos, tg, cotg, sinh, cosh, tgh, cotgh). Argument and logarithm of complex numbers. Paths in C, integral over paths in C and its (in)dependence on a path. Cauchy's theorem.
3. Cauchy's formula and its corollaries (Liouville's theorem, fundamental theorem of algebra, existence and uniqueness of power series representation of holomorphic functions).
4. Laurent series, Cauchy's formula in an annulus, existence and uniqueness Laurent series representation. Isolated singularities of holomorphic functions. Residue theorem, computation of integrals using residue theorem.
5. Meromorphic functions.
Last update: T_KMA (22.05.2003)
1. Těleso komplexních čísel C. Komplexní funkce reálné proměnné. Komplexní funkce komplexní proměnné, derivace, Cauchy-Riemannovy podmínky. Rozšíření koplexních čísel o nekonečno.
2. Holomorfní funkce. Elementární funkce v komplexním oboru (lineární lomená, exp, sin, cos, tg, cotg, sinh, cosh, tgh, cotgh). Hledání vzorů pro dané zobrazení elementární funkcí. Spojitá větev argumentu a logaritmu. Křivky v C, křivkový integrál v C a jeho ne/závislost na křivce. Křivkové integrály s parametrem, Cauchyova věta.
3. Cauchyův vzorec a jeho důsledky (Liouvilleova věta, základní věta algebry, existence a jednoznačnost rozvoje funkce v mocninnou řadu).
4. Laurentovy řady, Cauchyův vzorec pro mezikruží, existence a jednoznačnost rozvoje v Laurentovu řadu. Klasifikace izolovaných singulárních bodů holomorfních funkcí. Reziduová věta, výpočet některých integrálů pomocí residuové věty.
