The course is running once a week during the winter term 2011/12. Anotation: The students will be shown (i) how to see the links between formal descriptions and graphs; (ii) how to draw schemes and calculate particular examples when reading a new, biological text with mathematical equations; (iii) to see differences between discrete and continuous world; (iv) to see that the mathematical formalism is only a part of our language, which can help to understand our problems in nature. Please note that the lessons given in the Czech language, only.
Last update: Šizling Arnošt Leoš, RNDr. Mgr., Ph.D. (30.09.2014)
Kurz Interpretované Matamatiky (základní kurz matematiky) je postaven na myšlence, že důležitější než umět samostatně spočítat složitý integrál, je rozumět tomu proč a kdy ho počítat (na konkrétní řešení je dnes k dispozici software a profesionální matematici). Neočekávejte tudíž intenzivní tréning počítání (řešit se budou jen jednoduché příklady, na kterých je lépe vidět jejich podstata), ale spíš trpělivé vysvětlování proč se co v matematizující biologii počítá. To nedělá kurs "jednoduchou matematikou", naopak to vyžaduje od studenta jak zájem tak snahu porozumět a intenzivní komunikaci s vyučujícím. Pro zdatnější v matematickém myšlení je určen kurz Dr. Zváry, který nabízí intenzivnější tréning matematického kalkulu.
Cílem kursu je: Naučit se vidět souvislost formálního zápisu s grafem, vypěstovat si návyk vše při čtení matematicko-biologického textu kreslit a počítat s pokud možno s konkrétníma hodnotami (to jsou návyky, které biologové nemají a zabraňují jim rozumět matematizujícím textům); porozumět rozdílu mezi diskrétním a spojitým světem; na konkrétních příkladech bude předveden postup řešení biologicko-matematických problémů a jejich interpretace; bude předvedeno, že formální způsob myšlení je součást jazyka, která nám může pomoci v porozumění přírodě.
Kurz probehne v akademickem roce 2012-13 jako řádný (nikoli turnusový) a to v zimním semestru.
Last update: Šizling Arnošt Leoš, RNDr. Mgr., Ph.D. (30.09.2014)
Literature - Czech
Bittinger, M. L. 1981. Calculus: a Modeling Approach. Addison -Wesley Publishing, Copany, Inc., Reading, Massachusetts.
Caswell, H. 1989. Matrix Population Models. Sinauer Associates, Inc. Publisher Sunderland, Massachusetts.
Jarník, V. 1984. Diferenciální počet (I) a (II). Academia, Praha.
Katriňák, T. et. al. 1985. Algebra a teoretická aritmetika (1) a (2). ALFA, Bratislava.
Kotvalt, V. 1997. Základy matematiky pro biologické obory. Skriptum UK, Praha.
Rektory, K. 1973. Přehled užité matematiky. SNTL, Praha.
Todd, J. 1962. A Survey of Numerical Analysis. Mc Graw-Hill Book Copany, New York.
Vitásek, E. 1987. Numerické metody. SNTL, Praha.
Last update: Šizling Arnošt Leoš, RNDr. Mgr., Ph.D. (29.04.2015)
Requirements to the exam - Czech
Písemný test.
Last update: Šizling Arnošt Leoš, RNDr. Mgr., Ph.D. (29.04.2015)
Syllabus -
the "grammar" and "syntax" of math "formulae" - concerning on the fact that formula is a readable text, and on its syntactic compatibility with common text and interpretation; correct use of fractions, equals signs and brackets
equivalent simplifying of equations and inequations; unit invariance
numerical problems while multiplying and dividing; conditions for preference of multiplying and/or dividing; difference between analytic and numerical solving - concerning the equivalence of algorithms; stability of computation
log, power and exp functions - definitions and properties; main rules; Euler's e; natural logarithm - prominence and interrelationships among logarithms of various bases; graphs of log, power and exp functions
polynomial functions - definitions, properties and graphs; polynomial equation - number of solutions and estimation of their highest and lowest roots; Newton's method
graphs in logarithmical (log-log) and semi-logarithmical (log-norm) space; deformation of curves changing these spaces; meaning and consequences of the graph rescaling
vectors - summing and multiplying; linear-dependent and linear-independent vectors; reper; right-handed and left-handed axes system;
system of linear equations - geometrical meaning; matrixes
matrix as an element of ring (using analogy with real numbers); matrix calculus; unit and neutral element of ring; rank of matrix; determinant, eigenvalue and eigenvectors and their meaning
Frobenius theorem; numerical problems while solving system of linear equations
functions and series; continuity and discontinuity; geometrical meaning of the intermediate value theorem; basic properties of functions and series - monotony, convexity, convergence, limits, limits in point, limits in an improper point - mainly using a graphical way;
infinitesimals; differential; derivative - geometrical, physical and other meanings; differences in the physical and mathematical meaning; possibility of separating of the differentials
rules for derivation of polynomial, exponential and logarithmical functions
difference equations - examples and case studies; numerical solution of difference equations; implementation of any criterion of convergence; initial and boundary conditions; implicit and explicit variable; Ljapunov stability of system; numerical instability of computation; numerical approach and error estimation; emphasis on visualization and interpretation
differential equations - examples and case studies; Euler solution; how the size of differential affects the solution; existence of solution; Runge-Kutt method
comparison between difference and differential equations - concerning the technical and interpretational problems; chaos as a result of way of solving the equations and chaos as a result of natural mechanisms beyond the equations
Ljapunov stability, asymptotic stability etc.; differences between terminology in math and biology; global and local stability; area of attraction; other definitions of stability
Last update: Šizling Arnošt Leoš, RNDr. Mgr., Ph.D. (29.04.2015)
"gramatika" a "syntax" "vzorců" s důrazem na to že jde o větu, která se dá přečíst, interpretovat a zařadit do psaného textu; správný zápis zlomků, rovnítek a závorek
ekvivalentní úpravy při řešení rovnic a nerovnic; krácení, rozšiřování zlomků, vytýkání před závorky; jednotková invariance
numerické problémy při násobení a dělení; kdy je lépe nejdřív násobit a poté dělit; proč jsou některé jinak ekvivalentní postupy při praktických výpočtech neekvivalentní; stabilita výpočtu
definice a základní vlastnosti logaritmických, mocninných a exponenciálních funkcí; základní operace s logaritmy a mocninami; Eulerovo číslo a přirozený logaritmus - jeho význačnost a převod na logaritmus o jiném základu; graf logaritmu, exponenciely a mocniny
definice a základní vlastnosti polynomů; průběh, počet řešení a odhad nejvyššího a nejnižšího kořene
grafy v normálním, semilogaritmickém a logaritmickém prostoru; změny křivek při přechodech mezi těmito prostory (rozuměj důsledky a interpretace logaritmických transformací os grafů)
operace s vektory; lineárně závislé a nezávislé vektory; souřadná soustava (repér); pravotočivý a levotočivý systém;
řešení soustavy lineárních rovnic; geometrická interpretace; maticový zápis
matice jako prvek tělesa (není na příkladu analogie s reálnými čísly); operace s maticemi; jednotkový a neutrální prvek; hodnost matice; determinant a charakteristické číslo a vektor matice a jejich interpretace
Frobeniova věta; numerické problémy při řešení soustav lineárních rovnic;
funkce a řada; spojitost a nespojitost funkce; geometrická interpretace věty o nabývání mezihodnot; klasifikace funkcí (rostoucí, nerostoucí, monotónní, ryze monotónní, konvexní, konkávní, konvergence, divergence atd.); hromadný bod, a limita v nevlastním bodě (vše graficky)
pojem infinitezimálně malé; graficky pojem limity ve vlastním bodě; graficky pojem derivace - její geometrická, fyzikální a jiné interpretace (pojmy změna s .., rychlost); rozdíl mezi fyzikálním a matematickým uchopením derivace - zápis derivace jako podíl diferenciálů; možnost osamostatnění diferenciálu
pravidla pro derivování polynomů, logaritmů, exponenciálních funkcí
sestavování diferenčních rovnic; numerické řešení diferenčních rovnic; jednoduché praktické použití nějakého kriteria konvergence a divergence řad (asi jen podílové, má snadnou interpretaci); počáteční podmínky a okrajové podmínky; implicitní a explicitní proměnná; prostor řešení; stabilita řešení vzhledem k počátečním podmínkám; nestabilita výpočtu vlivem zaokrouhlování; numerické dořešení rovnice k nějakému zvolenému obzoru a odhad chyby tohoto řešení způsobené nestabilitou; velký důraz na vizualizaci a interpretace všech pojmů a schopnost přečtení formálních zápisů
sestavování diferenciálních rovnic; řešení Eulerovou metodou; rozdíl v numerických řešeních při různě velkém diferenciálu; problém existence řešení; odkaz na sofistikovanější metody např. Runge-Kutta
shrnout zásadní výpočetní a interpretační rozdíly mezi diferenčními a diferenciálními rovnicemi; vznik chaosu (chaos u diferenční rovnice a chaos vzniklý nesprávným numerickým řešením diferenciální rovnice); vše ručními výpočty, na počítači a graficky
graficky pojem Ljapunova stabilita, nestabilita a asymptotická stabilita řešení diferenciálních rovnic s odkazem na odchylky mezi v matematice a biologii zavedenou terminologií; globální a lokální stabilita; jiné definice stability vhodnější pro biologii - jde o vhodný termín k cviku umění vidět meze použitelnosti, užitečnosti formálního způsobu uvažování
Last update: Šizling Arnošt Leoš, RNDr. Mgr., Ph.D. (29.04.2015)
