Fragmenty intuicionistické logiky, intermediárích logik a substrukturálních logik (vybrané otázky).
Thesis title in Czech: | Fragmenty intuicionistické logiky, intermediárích logik a substrukturálních logik (vybrané otázky). |
---|---|
Thesis title in English: | Fragments of intuitionistic logic, intermediate logics and substructural logics (selected problems). |
Key words: | substrukturální logiky|rámce|pozitivní formule|top model|slabý zákon vyloučeného třetího |
English key words: | substructural logics|frames|positive formulas|top model|weak excluded middle axiom |
Academic year of topic announcement: | 2016/2017 |
Thesis type: | diploma thesis |
Thesis language: | čeština |
Department: | Department of Logic (21-KLOG) |
Supervisor: | Mgr. Marta Bílková, Ph.D. |
Author: | hidden - assigned and confirmed by the Study Dept. |
Date of registration: | 05.12.2016 |
Date of assignment: | 05.12.2016 |
Administrator's approval: | not processed yet |
Confirmed by Study dept. on: | 07.12.2016 |
Date and time of defence: | 06.02.2018 09:00 |
Date of electronic submission: | 05.01.2018 |
Date of proceeded defence: | 06.02.2018 |
Submitted/finalized: | committed by student and finalized |
Opponents: | Mgr. Igor Sedlár |
Guidelines |
Práce se bude zabývat intuicionistickou výrokovou logikou a jejími rozšířeními, a substrukturálními výrokovými logikami - rozšířeními Full-Lambekovy logiky FL. Pro účely této práce budeme logikou rozumět zpravidla množinu teorémů, fragmentem logiky pak její restrikci na formule v jazyce s podmnožinou množiny výrokových spojek (nebudeme se zabývat fragmenty danými omezením mohutnosti množiny atomů). Soustředíme se zejména na pozitivní fragmenty, fragmenty bez disjunkce a negačně-implikační fragmenty, a to na otázky, kdy je daný fragment dvou různých logik stejný. Prvním úkolem práce bude nastudovat Jankovův výsledek, týkající se Jankovovy logiky KC - rozšíření intuicionistické logiky IL o slabý zákon vyloučeného třetího. Jankov [1] ukázal, že KC je konzervativnínad pozitivním fragmentem IL (důkaz lze nalézt v [2]), jinými slovy, že pozitivní fragment KC a IL je tentýž, a že KC je nejsilnější takovou intermediární logikou. Jankovova věta [1] přesněji říká, že svaz axiomatických rozšíření pozitivního fragmentu IL je isomorfní spodsvazem [KC,CL] intermediárních logik mezi KC a klasickou logikou. Důkaz pomocí kripkovské sémantiky je možné nalézt v [3,4]. Věta má díky korespondenci mezi axiomatickými rozšířeními IL a podvarietami Heytingových algeber i algebraickou formulaci: svaz podvariet Browerových algeber je isomorfní intervalu [BA,KC] ve svazu podvariet Heytingových algeber. V této formulaci byl výsledek N. Galatosem [5] zobecněn na substrukturální logiku FL_ew na místě intuicionistické logiky. Otázka: platí podobný výsledek pro distributivní substrukturální logiky, a je možné nalézt jeho jednodušší důkaz pomocí relační sémantiky, jak je definována např. v [6], což by zobecnilo důkaz Jankovova výsledku v [4]? Druhým tématem jsou fragmenty bez disjunkce. Je známo (viz. Hosoi-Ono problém), že intermediární logiky s vlastností disjunkce mají stejný fragment bez disjunkce jako intuicionistická logika. Plná charakteristika takových intermediárních logik byla ukázána Minarim v [7], jiný důkaz lze nalézt v [8]. Otázka: platí podobný výsledek pro (některé) substrukturální logiky? Třetím tématem jsou negačně-implikační fragmenty intermediárních logik. Označme (L-) negačně-implikační fragment logiky L. Uvažujme axiomatické rozšíření IL o množinu axiomů X. Otázka (P. Cintula): Kdy je (IL+X)- totožná s(IL-)+X? Kromě toho je zajímavá i otázka, které intermediární logiky mají stejný negačně-implikační fragment jako IL. Konečná podoba obsahu diplomové práce bude záviset na průběhu prací, nepředpokládá se, že pokryje všechny tři body uvedené výše. Pokud se např. v některém z nich podaří naplnit rozsah diplomové práce, mohou se ostatní body pominout. Předpokládám, že se student pokusí dosáhnout v práci dílčích vlastních výsledků. Pokud se to nepodaří (zejména u dvou posledních témat, která považuji za obtížná), bude náplní textu srozumitelný výklad stávajících výsledků. |
References |
[1] V. A. Jankov. Calculus of the Weak Law of the Excluded Middle (In Russian). Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. 32(5):1044–1051, 1968. [2] A.V. Chagrov and M. Zakharyaschev. Modal Logic. Oxford Logic Guides. Clarendon Press, 1997. [3] A. Tzimoulis and Z. Zhao. The Universal Model for the Negation-free Fragment of IPC. Technical Notes (X) Series X-2013-01, ILLC, University of Amsterdam, 2013. [4] Dick de Jongh, Zhiguang Zhao, Positive Formulas in Intuitionistic and Minimal Logic, report PP-2014-06, ILLC, 2014. [5] Nick Galatos, Generalized ordinal sums and translations, Logic Jnl IGPL (2011) 19 (3): 455-466. [6] Greg Restall, An Introduction to Substructural Logics, Routledge, 2000. [7] P. Minari, Intermediate logics with the same disjunctionless fragment as intuitionistic logic, Studia Logica 45(2), pp 207-222, 1986. [8] M. Zakharyashev, A New Solution to a Problem of Hosoi and Ono, NDJFL 35(3), pp. 450-457, 1994. |