Cohen forcing and its properties

• Thesis title in English: Cohen forcing and its properties
• Key words: forcing, Cohenův forcing, Hypotéza kontinua, Zobecněná hypotéza kontinua, Cohenova reálná čísla
• English key words: forcing, Cohen forcing, the Continuum Hypothesis, the Generalised Contiuum Hypothesis, Cohen reals
• Academic year of topic announcement: 2013/2014
• Thesis type: Bachelor's thesis
• Thesis language: angličtina
• Department: Department of Logic (21-KLOG)
• Supervisor: doc. Mgr. Radek Honzík, Ph.D.
• Author: hidden - assigned and confirmed by the Study Dept.
• Date of registration: 14.05.2014
• Date of assignment: 15.05.2014
• Administrator's approval: not processed yet
• Confirmed by Study dept. on: 28.05.2014
• Date and time of defence: 25.06.2015 10:00
• Date of electronic submission: 26.05.2015
• Date of proceeded defence: 25.06.2015
• Submitted/finalized: committed by student and finalized
• Opponents: Mgr. Jonathan Verner, Ph.D.

Guidelines

Student se seznámí s metodou forcingu v teorii množin. Tuto svou znalost aplikuje na téma Cohenovského forcingu. Práce bude postavena následovně. V první části přehledně shrne základní forcingové definice a věty (bez důkazu); přitom bude postupovat podle Kunenovy knihy (viz reference dole). V další části detailně definuje Cohenův forcing na omega pro přidání alpha mnoha nových podmnožin omegy a prozkoumá jeho vlastnosti (např. odpoví na tyto otázky: liší se nějak Cohenův forcing pro přidání podmožiny omegy od forcingu pro přidání funkce z omegy do omegy, jaké předpoklady o kardinální aritmetice jsou potřeba, aby forcing nekolapsoval kardinály, co se stane, pokud povolíme podmínky velikosti omega?). V další části zobecní Cohenův forcing na kardinály ostře větší než omega. Např. odpoví na tyto o otázky: jaké jsou podmínky pro zachování kardinalů, je možné tento forcing použít pro naforcování 2^omega = aleph_2, 2^{aleph_3} = aleph_7 a GCH na ostatních regulárních kardinálech? Co selže, když se pokusíme naforcovat 2^{aleph_omega} = aleph_{omega+2} a GCH na ostatních kardinálech? Jak naforcovat non GCH všude pod aleph_omega? V další části se student zaměří na jedno další pokročilejší téma týkající se Cohenova forcingu podle vlastního výběru (po konzultaci s vedoucím práce).

References

K. Kunen, Set Theory: Introduction to Independence Proofs in Set Theory, Elsevier.
T. Jech, Set Theory (The Millenium Edition), Springer.
Foreman, Kanamori Eds, Handbook of Set Theory, Vols 1-3, Springer.