Rovnicové báze pro některé konečné grupy

• Thesis title in Czech: Rovnicové báze pro některé konečné grupy
• Thesis title in English: Equational bases for some finite groups
• Key words: grupa|varieta|Birkhoffova věta|Oates-Powellova věta|konečná báze
• English key words: group|variety|Birkhoff's theorem|Oates-Powell theorem|finite basis
• Academic year of topic announcement: 2024/2025
• Thesis type: Bachelor's thesis
• Department: Department of Algebra (32-KA)
• Supervisor: prof. RNDr. Aleš Drápal, CSc., DSc.

Guidelines

Zkoumáním vybrané grupy G bude navržen kandidát E na konečnou bázi rovnic. Z této báze bude odvozen strukturní popis grup, které rovnice v E obsažené splňují. Poté bude dokázáno,že všechny takové grupy leží ve varietě generované grupou G. (Pokud se to nepodaří, tak je to signál, že domnělou konečnou bázi E by mohlo být potřeba rozšířit.)

Investigating a given group G should result in a choice of a candidate E for a finite basis of equations. From that basis a structural description should be derived that covers all groups that fulfil the equations of E. After that it should be proved that all these groups are within the variety generated by G. (If this won't be successful, the reason may consist in the fact that the suggested basis E should be extended.)

References

L. G. Kovács and M. F. Newman: Cross Varieties of Groups, Proceedings of the Royal Society of London . Series A, Mathematical and Physical Sciences, Vol. 292, No. 1431 (Jun. 14, 1966), pp. 530-536 (7 p ages)
https://www.jstor.org/stable/2415641

Sheila Oates and M. B. Powell: Identical relations in finite groups, J. Algebra 1 (1964), 11-39.

Hanna Neumann: Varieties of groups, Springer-Verlag, Berlin, 1967.

Bruce Southcott: Two-variable laws for a class of finite simple groups, Bull. Austral. math. soc. 10 (1974), 85-89.

Preliminary scope of work

Pro grupu G označme Eq(G) množinu všech rovnic, které v dané grupě platí. Rovnicí se rozumí vztah s(x_1,...,x_n) = t(x_1,...,x_n), kde s a t jsou termy vytvořené operacemi násobení a inverze. To, že pro grupu G tato rovnost platí znamená, že s(a_1,...,a_n) = t(a_1,...,a_n) kdykoliv za proměnné x_1,...,x_n dosadíme prvky a_1,...,a_n grupy G.

Rovnicovou bází grupy G se rozumí každá podmnožina M množiny Eq(G) taková, že všechny rovnice platné v Eq(G) se dají odvodit z rovnic obsažených v M. Například, je-li G cyklická grupa prvočíselného řádu p (nebo, obecněji, G je elementární abelovská p-grupa), tak za rovnicovou bázi lze zvolit {x_1x_2 = x_2x_1, x_1^p = 1}. Obecně platí, že pro každou konečnou grupu G existuje konečná rovnicová báze. Důkaz ovšem není konstruktivní. Dokonce se ví, že z principielních důvodů konstruktivní být nemůže. Nalézt konečnou rovnicovou bázi pro nějakou konkrétní grupu ovšem možné je. Pro některé grupy je to snadné, pro některé obtížné. Celkově se toho ví relativně málo. Práce by mohla začít případem, kdy G je konečná dihedrální grupa. Další grupy by mohly (ale nemusely) následovat. Další možný směr (který také není úplně snadný) je reprodukovat důkaz, že konečné grupy mají konečnou rovnicovou bázi.

Pokud je mi známo, zájem o tuto problematiku v posledních desetiletích upadl. Zabývat se jí je však dobrá průpravou pro řešení problémů týkajících se konečné báze obecných algebraických systémů, cože je stále aktuální téma.

Preliminary scope of work in English

For a group G denote by Eq(G) the set of all equations that hold in G. An equation means here a relation s(x_1,...,x_n) = t(x_1,...,x_n), where s and t are terms induced by operations of multiplication and inversion. The equation holds in G if s(a_1,...,a_n) = t(a_1,...,a_n) whenever elements a_1,...,a_n from G are substituted for unknowns x_1,...,x_n.

An equational basis of the group G is a subset M of Eq(G) such that all equations valid in Eq(G) may be derived from equations contained in M. For example, if G is a cyclic group of prime order (or, more generally, G is an elementary abelian p-group) then {x_1x_2 = x_2x_1, x_1^p = 1} is an equational basis of G. On the general level it is true that every finite group G possesses a finite equational basis. The proof of this fact is not constructive. In fact, there are principal reasons why a constructive proof may not exist. However, it is possible to find a finite equational basis for a given finite group. For some groups this is relatively easy, while for other groups this may be very difficult. All in all, relatively little is known. The thesis might start with finite dihedral groups. Further groups may (but need not) follow. An alternative direction (which also is not completely easy) is to reproduce the proof that every finite proof possesses a finite equational basis.

As far as I know this topic has not been much investigated in recent years. Nevertheless, it might serve as a good training ground for problems concerned with the existence of finite bases in general algebraic system. These problems remain to be widely studied.