Moufangové rovina a spinové grupy

• Thesis title in Czech: Moufangové rovina a spinové grupy
• Thesis title in English: Moufang plane and Spin groups
• Key words: Spinové grupy|nedesarguesovské roviny|tranzitivní akce|Jordanovy algebry
• English key words: Spin groups|non-desarguesian planes|transitive actions|Jordan algebras
• Academic year of topic announcement: 2021/2022
• Thesis type: Bachelor's thesis
• Thesis language: čeština
• Department: Mathematical Institute of Charles University (32-MUUK)
• Supervisor: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D.
• Author: Bc. Dominik Stejskal - assigned and confirmed by the Study Dept.
• Date of registration: 21.10.2021
• Date of assignment: 08.12.2021
• Confirmed by Study dept. on: 30.03.2022
• Date and time of defence: 16.06.2022 08:30
• Date of electronic submission: 12.05.2022
• Date of submission of printed version: 16.05.2022
• Date of proceeded defence: 16.06.2022
• Opponents: Mgr. Marie Holíková, Ph.D.

Guidelines

Zájemce o práci se seznámí s Cliffordovými algebrami, spinovými grupami a spinorovými reprezentacemi, grupou F_4, Moufangovou rovinou, základy Lieových grup a tranzitivních akcí na hladkých varietách.

References

Baez, J., The Octonions, Bulletin of the American Mathematical Society. 39 (2), 145–205, 2002, arXiv:math/0105155. doi:10.1090/S0273-0979-01-00934-X.
Harvey, R., Spinors and Calibrations, ISBN-13: 978-0123296504.
Dostálová, M., Projektivni roviny, Projektivni oktonionova rovina a nedesarguesovskost, bakalářská práce,
Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy, Praha 2009.
Franek, P., Pazourek, K., Tuček, V., Hyperplane Section of the Complex Cayley Plane as the Homogenous Space F4/P4, Comment. Math. Univ. Carolin. 52, 4 (2011), 535-549.
Freudenthal, H., Oktaven, Ausnahmegruppen und Oktavengeometrie, Geometriae Dedicata, 19: 7–63, 1985, doi:10.1007/bf00233101.
FrTiedrich, T., Dirac-Operatoren in der Riemannschen Geometrie, Teubner--Verlag.
its, J., Algèbres alternatives, algèbres de Jordan et algèbres de Lie exceptionnelles, Indagationes Mathematicae 28, 223–237, 1966, doi:10.1016/S1385-7258(66)50028-2.

Preliminary scope of work

Odvoditelnost tvrzení Desarguese bylo předmětem projektivní geometrie počátku dvacátého století. Toto tvrzení je větou v případě projektivních rovin nad (komutativními) tělesy. Příkladem projektivní roviny, pro niž Desarguesovo tvrzení neplati, je tzv. rovina Ruth Moufangové, kterou Moufangová nalezla s pomocí oktonionů. Je známo, že neodvoditelnost 5. postulátu eukleidovské geometrie byla dokázána konstrukcí příslušných modelů (klasicky Lobačevského nebo sférické geometrie). Rovina Ruth Moufangové je homogenním prostorem pro grupu F_4, jež je grupou automorfizmů jedné z výjimečných algeber Jordana.

Preliminary scope of work in English

From the beginning of the 20th century, there was a task of whether the Desargues assertion is a theorem. This assertion can be proved for
projective planes defined over commutative fields. The plane of Ruth Moufang is an example of a plane for which the Desrgues assertion does not hold.
It was defined using the octonions, which are non-associative. It is well known that the Fifth postulate of Euclidean geometry was proved by constructing models (Lobačevskij and spherical geometry). The plane of Moufang is a homogeneous space for Lie group F_4, which is defined as a group of automorphisms of a commutative algebra of P. Jordan.