Momentový problém a entropie v molekulové fyzice

• Thesis title in Czech: Momentový problém a entropie v molekulové fyzice
• Thesis title in English: Problem of moments and entropy in molecular physics
• Key words: momentová teorie|entropie|metastabilní stavy|rozpadová šířka
• English key words: moment theory|entropy|metastable states|decay width
• Academic year of topic announcement: 2022/2023
• Thesis type: Bachelor's thesis
• Thesis language: čeština
• Department: Institute of Theoretical Physics (32-UTF)
• Supervisor: doc. RNDr. Přemysl Kolorenč, Ph.D.
• Author: hidden - assigned and confirmed by the Study Dept.
• Date of registration: 07.10.2022
• Date of assignment: 10.10.2022
• Confirmed by Study dept. on: 17.10.2022

Guidelines

Student se seznámí s momentovou teorií a problémem rekonstrukce neznámé nezáporné funkce z konečného počtu jejích momentů, včetně základního přehledu nejpoužívanějších metod jeho řešení (Padé aproximace, Stieltjes imaging). Cílem práce bude implementovat řešení založené na maximalizaci funkcionálu entropie, které vychází z interpretace neznámé funkce jako hustoty pravděpodobnosti. Metoda bude následně aplikována na výpočet rozpadových šířek metastabilních stavů v molekulové fyzice a porovnána s dosud používanou metodou Stieltjes imaging.

References

[1] Chihara, An Introduction to Orthogonal Polynomials (Gordon and Breach, 1978)

[2] Mead, Papanicolaou, Maximum entropy in the problem of moments, J. Math. Phys. 25(8), 2404 (1984)

[3] Biswas, Bhattacharya, Function reconstruction as a classical moment problem: a maximum entropy approach, J. Phys. A: Math. Theor. 43, 405003 (2010)

[4] Muller-Plathe, Diercksen, Molecular photoionization cross sections by moment theory. An introduction. In: Electronic Structure of Atoms, Molecules and Solids (World Scientific, 1990)

[5] Kolorenč, Electronic relaxation of low-energy metastable states of atomic and molecular systems, habilitation thesis (MFF UK, 2021)

Preliminary scope of work

Studium metastabilních stavů -- rezonancí -- je důležitou součástí molekulové fyziky. Jednou z jejich základních charakteristik je rozpadová šířka, která přímočaře souvisí s konečnou dobou života. K přímému výpočtu rozpadové šířky je ovšem třeba konstruovat mnoho-elektronové vlnové funkce ve spojité části spektra, což je velmi výpočetně náročné až neproveditelné. Proto je kontinuum nahrazováno vhodnou diskretizací, která však umožňuje získat pouze spektrální momenty rozpadové šířky. Úloha je tedy převedena na takzvaný momentový problém -- jak z konečného počtu momentů zpět zrekonstuovat původní funkci. Tento problém je notoricky špatně určený, numericky nestabilní a není známo uspokojivé univerzální řešení. V molekulové fyzice se rutinně používá metoda Stieltjes imaging [4,5], zatímco v mnoha ohledech atraktivní alternativa založená na maximalizaci funkcionálu entropie [2,3] je přehlížena. Hlavním cílem práce je tedy zaplnit tuto mezeru, pokusit se tento přístup na výpočet rozpadových šířek aplikovat a analyzovat jeho přesnost a stabilitu.

Preliminary scope of work in English

The study of metastable states -- resonances -- is an important part of molecular physics. One of their basic characteristics is the decay width, which is straightforwardly related to the finite lifetime. Direct evaluation of the decay width, however, requires an explicit construction of the many-electron wave functions in the continuous part of the spectrum, which is numerically extremely demanding or impossible. Therefore, the continuum is commonly replaced by a suitable discretization. As a result, only the spectral moments of the decay width are computed instead of the function itself. The approach thus leads to the so-called problem of moments -- how to recover a non-negative function from a finite set of its spectral moments. This problem is notoriously ill-defined and numerically unstable, without a satisfactory universal solution. In molecular physics, the most commonly used method is Stieltjes imaging [4,5] while an attractive alternative, based on the maximum of the entropy functional [2,3] is overlooked. The goal of the project is thus to fill the gap -- apply the entropy approach to the computation of decay widths and analyse its accuracy and stability.