Matematické modelování vibrační dynamiky při rozptylu elektronu molekulou.
| Thesis title in Czech: | Matematické modelování vibrační dynamiky při rozptylu elektronu molekulou. |
|---|---|
| Thesis title in English: | Mathematical modeling of vibrational dynamics in electron scattering from molecule. |
| Key words: | Kvantová teorie rozptylu|Schroedingerova rovnice|Krylovovské iterační metody|předpodmínění iteračních metod |
| English key words: | Quantum scattering theory|Schroedinger equation|Krylov iteration methods|preconditioning of iteration methods |
| Academic year of topic announcement: | 2020/2021 |
| Thesis type: | diploma thesis |
| Thesis language: | čeština |
| Department: | Institute of Theoretical Physics (32-UTF) |
| Supervisor: | doc. RNDr. Martin Čížek, Ph.D. |
| Author: | hidden - assigned and confirmed by the Study Dept. |
| Date of registration: | 01.03.2021 |
| Date of assignment: | 23.04.2021 |
| Confirmed by Study dept. on: | 10.05.2021 |
| Date and time of defence: | 02.09.2022 09:30 |
| Date of electronic submission: | 19.07.2022 |
| Date of submission of printed version: | 25.07.2022 |
| Date of proceeded defence: | 02.09.2022 |
| Opponents: | doc. RNDr. Ivana Pultarová, Ph.D. |
| Guidelines |
| Řešitelka prostuduje popis problému vibrační dynamiky při rozptylu elektronu na molekule, seznámí se s rovnicemi popisující tento problém a se současným způsobem jejich řešení běžným ve fyzikální literatuře [1,2]. Dále naváže na předchozí studium řešení těchto rovnic pomocí Krylovovských iteračních metod. Cílem práce pak je precizovat matematickou formulaci modelu elektronové srážky s molekulou nebo studovat podrobněji konvergenci iteračních metod, její závislost na charakteru modelu a případně hledat jejich vhodné předpodmínění. |
| References |
| [1] M. Čížek: Resonance processes in atomic collisions. Doktorská disertační práce. Praha 1999.
[2] M. Šarmanová: Iterační výpočty vibrační dynamiky při rozptylu elektronu molekulou, bakalářská práce, MFF UK Praha 2020. [3] Vhodná učebnice kvantové mechaniky. [4] R. G. Newton. Scattering Theory of Waves and Particles. Berlin 1982. [5] J.D. Tebbens, I. Hnětynková, M. Plešinger, Z. Strakoš, P. Tichý: Analýza metod pro maticové výpočty. Matfyzpress, Praha 2012. [6] http://utf.mff.cuni.cz/~cizek/Studentske_prace/Upresneni_dipl_2020.pdf |
| Preliminary scope of work |
| Tato práce navazuje na bakalářskou práci [1] věnující se numerickým metodám pro řešení soustavy rovnic popisující rozptyl elektronu na molekule. Problém je popsán okrajovou úlohou pro soustavou Schrodingerových (Helmholtzových) parciálních diferenciálních rovnic. Tato soustava by sama o sobě byla eliptickým problémem, ale v důsledku možnosti odtržení elektronu obsahuje integrální člen, který činí problém značně nestandardním. Obvyklým způsobem řešení tototo problému ve fyzikální literatuře je rozvinutí neznámých funkcí do báze v Hilbertově prostoru a převedení na soustavu rovnic s řídkou maticí pro koeficienty v rozvoji. V bakalářské práci [1] se autorka věnovala řešení této soustavy rovnic pomocí iteračních maticových metod a studovala jejich efektivitu pro tento problém. Prováděla to pro dvourozměrný problém.
Tato práce se bude věnovat některé ze stále otevřených otázek plynoucích z [1]. Může jít o následující: 1) Pokusit se precizovat matematický přechod od okrajové úlohy k soustavě rovnic, tj. zformulovat slabou formulaci úlohy včetně integrálního členu. 2) Vyjít ze zavedeného postupu, ale otestovat iterační metody pro další netriviální zobecnění fyzikálního modelu, tj. provést řešení ve více dimenzích (pro tříatomové molekuly je přirozené řešit soustavu PDE ve 3D nebo 4D), přidat další anharmonické členy do potenciálu. 3) Řešená soustava rovnic se řeší pro Dirichletovu okrajovou podmínku. V případě molekuly, která se může disociovat (roztrhnout) je potřeba použít odcházející okrajovou podmínku. Zahrnutí této možnosti je netriviální a bylo by zajímavé se o něj pokusit. 4) Pokusit se najít pro některé z typů modelů vhodné předpodmínění. |
| Preliminary scope of work in English |
| Theme of this thesis is follow up of Bcl thesis [1] devoted to numerical methods of solution of system of equations describing electron scattering from molecule. Mathematically it is boundary value problem for system of Schrodinger (Helmholtz) partial differential equations. This system would be elliptic problem except to an integral term that describes a possible detachment of an electron which makes the problem rather nonstandard. Usual way to solve this problem in physics community is to expand the unknown functions (solutions) into basis in the Hilbert space which transforms the problem into system of linear equations for the coefficients with sparse matrix. The author of [1] tested the iteration matrix methods for solving this system and compared their efficiency. She studied two dimensional problem.
This work will be devoted to one of the open questions issuing from [1]. It can be any one of following: 1) To attempt of weak formulation of the problem including integral term and resolving of mathematical issues. 2) Using the previous approach but for some generalization of the physical model, i.e. solve the problem of higher dimensionality (natural for 3atomic molecules is 3D or 4D in PDE formulation), include other anharmonic terms. 3) We solved the boundary value problem with Dirichlet condition. For molecules that can dissociate it is necessary to include the outgoing boundary condition. 4) Attempt to find convenient preconditioner for some of these problems. |