Uvažujme proces větvení, ve kterém v každém kroku káždá částice s pravěpodobností p produkuje tři nové částice (očíslované 1,2,3) anebo se zbývající pravděpodobností zahyne. Přes momenty generující semigrupu lze explicitně vypočítat pravděpodobnost, že takový proces přežije. Ve článku [1] autoři si kladou jinou otázku, totíž, jestli rodokmen takového procesu obsahuje podstrom s vlastností, že pokud podstrom obsahuje danou částici, pak musí také obsahovat buď svůj první potomek, nebo oba ostatní potomky s čisly 2 a 3. Autoři dokazují, že pravděpodobost této události lze vypočítat podobným způsobem jak pravděpodobost přežití. V navržené práci by student zobecnil tento výsledek ve stylu článků [2] na procesy větvení v náhodném prostředí, pro které je pravděpodobnost p každém kroku daná náhodnou veličinou.
References
[1] T. Mach, A. Sturm, and J.M. Swart (2018): Recursive tree processes and the mean-field limit of stochastic flows. (Electron. J. Probab. 25 (2020) paper No. 61, 1-63).
[2] K.B. Athreya and S. Karlin (1971). On branching processes with random environments: I, II. Ann. Math. Statist. 42 1499–1520, 1843–1858.
Preliminary scope of work in English
Consider a branching process where in each time step, each particle produces with probability p three new particles (numbered 1,2,3), and with the remaining probability produces no offspring. By looking at the moment generating semigroup, one can explicitly calculate the probability that such a branching process survives. In [1], the authors as a different question: when does the family tree of such a branching process contain an infinite subtree with the property that if a particle is in the subtree, then either its 1st descendant is also in the subtree, or both the 2nd and 3rd descendant are also in the subtree. They show that the probability that such a subtree exists can be calculated in a similar way as the survival probability. In the proposed thesis, the student generalizes this in the spirit of [2] to branching processes in random environment, for which the probability p is random in each time step.
