Podivné funkce v matematické analýze

• Thesis title in Czech: Podivné funkce v matematické analýze
• Thesis title in English: Strange functions in mathematical analysis
• Key words: reálná funkce reálné proměnné|spojitost|derivace|monotonie
• English key words: real function of one real variable|continuity|differentiation|monotonicity
• Academic year of topic announcement: 2021/2022
• Thesis type: diploma thesis
• Thesis language: čeština
• Department: Department of Mathematics Education (32-KDM)
• Supervisor: RNDr. Martin Rmoutil, Ph.D.
• Author: hidden - assigned and confirmed by the Study Dept.
• Date of registration: 13.12.2021
• Date of assignment: 13.12.2021
• Confirmed by Study dept. on: 21.12.2021
• Date and time of defence: 13.09.2022 08:30
• Date of electronic submission: 22.07.2022
• Date of submission of printed version: 21.07.2022
• Date of proceeded defence: 13.09.2022
• Opponents: RNDr. Jakub Staněk, Ph.D.

Guidelines

V kurzech matematické analýzy prvního dvouletí se obvykle pracuje s funkcemi, které jsou v nějakém smyslu "hezké". Nejčastěji to znamená, že se dají vyjádřit vzorcem, který zahrnuje základní početní operace a skládání aplikované na elementární funkce. Takové funkce pak obvykle mají derivace všech řádů (s případnými výjimkami v izolovaných bodech), často se dokonce dají vyjádřit pomocí mocninné řady atd. Důležitou součástí teorie je však i studium funkcí, které tyto silné podmínky nesplňují a které se zpočátku jeví jako "speciální případy". Podrobnější analýza však ukazuje, že speciálními případy (v různých slova smyslech) jsou častěji funkce "hezké" než ty "škaredé".

Cílem práce je poskytnout ucelený text, který čtenáře znalého základů matematické analýzy efektivním způsobem uvede do nesmírně bohatého světa (v různých smyslech) "podivných" funkcí a množin. Práce by měla zahrnout základní příklady, jako je Cantorova funkce nebo funkce spojitá na R, která nemá v žádném bodě konečnou derivaci - a může je i uvést v historickém kontextu (například v posledně jmenovaném případě je cesta k všeobecně přijaté konstrukci poměrně zajímavá a zaslouží si komentář). Můžou být uvedeny různé konstrukce funkce s takovými vlastnostmi nebo existenční důkaz pomocí Baireovy věty.

Po představení nezbytných základů může práce jít různými směry, které všechny spadají do oblasti reálné analýzy (v širším smyslu). Při tom se často nedá vyhnout dalším klíčovým pojmům moderní matematické analýzy, třeba Lebesgueově míře, absolutně spojitým funkcím, borelovským množinám, Baireově kategorii apod. V některých případech je možno představit související část příslušné teorie, aby byl text co nejucelenější a pohodlně se četl; cílem ovšem není budovat od základů teorii míry, aby pak mohla být použita v několika konkrétních příkladech. Důraz bude kladen na srozumitelnou prezentaci často neintuitivních, těžko představitelných objektů a výsledků, které dělaly potíže intuici dobových matematiků a dělají potíže i intuici naší.

References

[1] J. Lukeš, J. Malý: Measure and Integral
[2] A. B. Kharazishvili: Strange functions in real analysis
[3] B. Balcar, P. Štěpánek: Teorie množin
[4] W. Rudin: Analýza v reálném a komplexním oboru
[5] H. N. Jahnke: A history of analysis

Preliminary scope of work

Další zajímavé objekty, které by mohly v práci být probrány (seřazeny zhruba podle obtížnosti):
1) Nekonstantní monotónní funkce, která má na husté množině nulovou derivaci;
2) Riemannova funkce (spojitá v hustě mnoha budech a zároveň nespojitá v hustě mnoha bodech);
3) Weierstrassova funkce, Takagiho funkce atd.;
4) zmínka o křivkách Peanova typu;
5) množiny libovolné (i neceločíselné) Hausdorffovy dimenze;
6) funkce vyšší Baireovy třídy (baireovská hierarchie funkcí je netriviální, konkrétní příklady)
7) diferencovatelná funkce, která není na žádném intervalu monotónní. Její derivace se někdy nazývá köpckeovská funkce; jakožto derivace má vlastnost nabývání mezihodnot ale není v žádném bodě spojitá.
8) atd.
Je velmi pravděpodobné, že při promýšlení konkrétního obsahu práce se vynoří další zajímavé náměty podobného typu. Řešitel dostane velkou míru svobody psát o tom, co ho zaujme. Práce bude úspěšná, pokud se podaří zvolená témata srozumitelně představit neodborníkům. (Pokud například student MFF bude moci práci se zájmem a pochopením přečíst.)