Student se nejprve seznámí s hierarchickou teorií deformace tenkých slupek, budovanou od případu homogenní elastické slupky s konstantní tloušťkou až po případ viskoelastické slupky s variabilní tloušťkou a hloubkově i laterálně závislými materiálovými parametry. Hlavním cílem práce bude implementace a numerické řešení rovnic tenké slupky v planetologických aplikacích. Konkrétním cílem bude určení slapové deformace slupek ledových měsíců a validace aproximace tenké slupky a určení jejích limitů v případě těles jako je např. měsíc Enceladus, kde jsou již předpoklady aproximace tenké slupky částečně nebo úplně porušeny. Řešení v aproximaci tenké slupky bude srovnáno s řešením neaproximovaného problému pomocí metody konečných prvků v knihovně FEniCS v již existujícím programu.
References
Beuthe, M. (2008), Thin elastic shells with variable thickness for lithospheric flexure of one-plate planets, Geophys. J. Int., 172, 817–841
Beuthe, M., Enceladus's crust as a non-uniform thin shell: I Tidal deformations, to appear in Icarus
Kalousová, K., Souček, O., and O. Čadek (2012) Deformation of an elastic shell with variable thickness: a comparison of different methods, Geophys. J. Int., 190, 726-744
Kraus, H. (1967), Thin Elastic Shells, John Wiley, New York.
Preliminary scope of work
Slapová deformace měsíců velkých planet může představovat jeden z důležitých vnitřních zdrojů zahřívání těchto těles v důsledku mechanické disipace. Její modelování je tedy nesmírně důležité pro odhad struktury a termální evoluce těchto těles. Třídimenzionální výpočty moderními výpočetními technikami jako jsou konečné prvky mohou být značně náročné a pro úlohy vyžadující dobré prostorové i časové rozlišení prakticky nepoužitelné. V těchto situacích se jako jisté východisko nabízí použití aproximace tenké slupky, jejíž předpoklady jsou pro řadu měsíců splněny. V aproximaci tenké slupky se původně třídimenzionální problém redukuje na systém dvourozměrných rovnic na kouli, což při vhodné implementaci vede ke značné úspoře výpočetních nároků. Pro elastické homogenní slupky uniformní tloušťky se jedná o standardní teorii ze 70. let 20. století, která byla v posledních deseti letech podstatně rozvedena Mikaelem Beuthem pro sférické slupky variabilní tloušťky a dále i pro obecnější reologické modely viskoelastického typu. V současné chvíli však chybí systematická studie mezí této aproximace ve fyzikálně relevantních situacích. Její vypracování bude hlavním cílem práce.
Preliminary scope of work in English
Tidal deformation of the moons of large planets in the solar system may, as a result of the associated mechanical dissipation, represent one of the prominent internal sources of heating of these bodies. As such, its reliable modelling is potentially critical for the estimates of the internal structure and the thermal evolution of these bodies. Numerical simulations for three-dimensional problems by modern numerical tools such as the finite element method can be however computationally very demanding, and in the problems where both high spatial resolution and long time series are required, such computations may not be feasible. A possible solution lies in the use of the thin-shell approximation, the assumption of which are satisfied in a number of practically relevant physical situations. In the thin-shell approximation, the originally three-dimensional problem reduces to a two-dimensional PDE system on a sphere, which allows for substantial reduction of the computational costs. For elastic homogeneous uniform shells the thin shell approximation represents a standard theory from the 1970s, which has been substantially extended in the past decade by Mikael Beuthe to cover spherical shells with variable thickness and rheological models of viscoelastic type. At present, a systematic study of the limitations of such approximation in physically relevant cases is however missing and its development will be the main task of the thesis.
