Aplikace teorie obnovy ve fraktální geometrii

• Thesis title in Czech: Aplikace teorie obnovy ve fraktální geometrii
• Thesis title in English: Applications of Renewal theory in fractal geometry
• Academic year of topic announcement: 2019/2020
• Thesis type: Bachelor's thesis
• Department: Mathematical Institute of Charles University (32-MUUK)
• Supervisor: doc. RNDr. Dušan Pokorný, Ph.D.

Guidelines

Řešitel se seznámí s možnými použitími teorie obnovy ve fraktální geometrii a přehledně je zpracuje.

References

W. Feller: An Introduction to Probability Theory and its Applications, vol. 2. Wiley, New York, 1966.
D. Gatzouras: Lacunarity of self-similar and stochastically self-similar sets, Trans. Amer. Math. Soc. 352 (5), 1953–1983, 2000.
S. P. Lalley: The packing and covering functions of some self-similar fractals, Indiana Univ. Math. J., 37 (3), 699-710, 1988.
S. P. Lalley: Renewal theorems in symbolic dynamics, with applications to geodesic flows, non-Euclidean tessellations and their fractal limits, Acta Math., 163(1-2):1-55, 1989.
P. Mattila: Geometry of sets and measures in Euclidean spaces, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1995.
S. Winter: Curvature measures and fractals, Diss. Math. 453, 2008.

Preliminary scope of work

Přestože teorie obnovy patří do teorie pravděpodobnosti, má hluboké důsledky i při studiu deterministických procesů. Jednou ze situací, kde může pomoci, je následující problém: Buď C klasické Cantorovo dickontinuum sestávající ze dvou třikrát zmenšených kopií sebe sama. Je-li r>0, můžeme nalézt podmnožinu C s maximálním počtem prvků splňující, že všechny její prvky mají vzdálenost alespoň r. Označíme-li kardinalitu takové množiny P(r,C), platí, že funkce r->P(r,C)*r^D je omezená a kladná na okolí 0, kde D=log2/log3 je Minkowského dimense C. Platí ale, že existuje i limita P(r,C)*r^D, když se r blíží k nule? Změnila by se situace, pokud bychom uvažovali modifikované Cantorovo diskontinuum, kde by jedna kopie byla zmenšená třikrát, ale druhá jen dvakrát?