Towards efficient numerical computation of flows of non-Newtonian fluids

• Thesis title in Czech: K efektivním numerickým výpočtům proudění nenewtonských tekutin
• Thesis title in English: Towards efficient numerical computation of flows of non-Newtonian fluids
• Key words: nenewtonské tekutiny, konstitutivní teorie, tekutiny s aktivací, apriorní analýza pro velká data, aposteriorní odhady chyby, předpodmínění
• English key words: non-Newtonian fluids, constitutive theory, fluids with activation, large-data a priori analysis, a posteriori error estimates, preconditioning
• Academic year of topic announcement: 2013/2014
• Thesis type: dissertation
• Thesis language: angličtina
• Department: Mathematical Institute of Charles University (32-MUUK)
• Supervisor: prof. RNDr. Josef Málek, CSc., DSc.
• Author: hidden - assigned and confirmed by the Study Dept.
• Date of registration: 25.10.2013
• Date of assignment: 25.10.2013
• Confirmed by Study dept. on: 05.02.2014
• Date and time of defence: 28.06.2019 10:00
• Date of electronic submission: 30.04.2019
• Date of submission of printed version: 30.04.2019
• Date of proceeded defence: 28.06.2019
• Opponents: Roland Herzog
• Advisors: RNDr. Jaroslav Hron, Ph.D.

Guidelines

Cílem práce je identifikovat vhodný termodynamicky konzistentní model, pro který bude provedena teoretická analýza počátečních/okrajových úloh, apriorní konvergence numerických schémat, aposteriorních odhadů chyby a numerická implementace.

Realizace práce obsahuje tyto dílčí kroky:
[1] identifikovat vhodný termodynamicky konzistentní model, který bude schopen zachytit jak fázové změny tak odpovídající tepelné a mechanické procesy,
[2] zformulovat počáteční a okrajové úlohy jak pro počítačové simulace tak pro teoretickou analýzu,
[3] provést teoretickou analýzu počátečních/okrajových úloh (z pohledu teorie systémů nelineárních parciálních diferenciálních rovnic),
[4] provést analýzu apriorní konvergence numerických schémat, analýzu aposteriorních odhadů chyby a numerickou implementaci
vhodných diskretizačních metod,
[5] porovnat výsledky počítačových simulací s fyzikální realitou a experimenty.

Nutnou součástí je důkladná rešerše literatury a sledování nejnovějších výsledků v oblastech relevantních tématu práce po celou dobu studia a přípravy práce.

References

[1] Allen, S. M.; Cahn, J. W. Ground State Structures in Ordered Binary Alloys with Second Neighbor Interactions. Acta Met. 20 (1972) 423.
[2] Heida, M.; Málek, J.; Rajagopal, K. R. On the development and generalizations of Allen–Cahn and Stefan equations within a thermodynamic framework. Z. Angew. Math. Phys. 63 (2012) 759–776.
[3] Průša, V.; Rajagopal, K. R. On models for viscoelastic materials that are mechanically incompressible and thermally compressible or expansible and their Oberbeck–Boussinesq type approximations. M3AS 23 (2013) 1761-1794.
[4] Rajagopal, K. R.; Srinivasa, A. R. On the thermomechanics of materials that have multiple natural configurations. Part I: Viscoelasticity and classical plasticity. Z. Angew. Math. Phys. 55 (2004) 861–893.
[5] Vohralík, M. A posteriori error estimates and adaptivity for Stokes flow with implicit constitutive laws. Preprint (2013).
[6] Zhao, L., Guo, B, Huang, H. Vanishing viscosity limit for a coupled Navier-Stokes/Allen-Cahn system. J. Math. Anal. Appl. 384 (2011).

Preliminary scope of work

Allen-Cahnova rovnice představuje široce používanou reprezentaci kinetiky rozhraní interagujících fází, kde diskontinuita v materiálových vlastnostech je nahrazena tenkou přechodovou oblastí, tzv. diffuse interface, v níž se změna materiálových parametrů odehrává spojitě. Původní formulace [1] vychází z fyzikální představy kontaktu fází coby jisté interakční oblasti, která je nositelem dodatečné interakční volné energie. Byť standardní odvození Allen-Cahnovy vychází z formulace této volné energie rozhraní a jisté variační fomulace pro ni, plně termodynamické odvození rovnic Allen-Cahn typu je stále předmětem probíhajícího výzkumu, viz. např. tekutinový model [2].

Formulace založená na metodice obsažené v [2] je jeví jako vhodný nástroj k dalšímu studiu Allen-Cahnových rovnic a hledání jejích dalších fyzikálně relevantních rozšíření. Technika maximalizace produkce entropie, použitá v [2] umožňuje například použít konceptu tzv. přirozené konfigurace, k formulování konstitutivní odezvy materiálu s fázovým rozhraním ve třídě visko-elastických látek, viz. např. [3] a [4]. Zároveň umožňuje studovat širokou třídu redukovaných formulací, založených na dodatečných postulátech typu kvazi-nestlačitelnost, které se přirozeně objevují v praxi. Obvyklá Boussinesqova aproximace v mnoha případech není vhodná kvůli nezanedbatelné změně hustoty doprovázející fázový přechod.

Komplexní studium těchto termodynamických modelů vyžaduje doplnit termodynamickou formulaci o její vhodně zvolený matematický popis, matematickou analýzu výsledného problému a studium jeho korektnosti a dobré podmíněnosti (existence a jednoznačnosti řešení), volbu diskretizačních technik a jejich numerickou analýzu a konečně samotnou výpočtovou implementaci modelů a konfrontaci výsledků s fyzikální realitou a experimenty.