Systémy rovnic s anizotropním růstem disipativního potenciálu
| Thesis title in Czech: | Systémy rovnic s anizotropním růstem disipativního potenciálu |
|---|---|
| Thesis title in English: | Systems of equations with anizotropic growth of dissipative potential |
| Key words: | potenciál s anizotropním rùstem, èásteèná a úplná regularita |
| English key words: | potential with anisotropic growth, partial and full regularity |
| Academic year of topic announcement: | 2009/2010 |
| Thesis type: | diploma thesis |
| Thesis language: | čeština |
| Department: | Department of Mathematical Analysis (32-KMA) |
| Supervisor: | doc. Mgr. Petr Kaplický, Ph.D. |
| Author: | hidden - assigned and confirmed by the Study Dept. |
| Date of registration: | 13.11.2009 |
| Date of assignment: | 13.11.2009 |
| Date and time of defence: | 08.09.2011 00:00 |
| Date of electronic submission: | 05.08.2011 |
| Date of submission of printed version: | 05.08.2011 |
| Date of proceeded defence: | 08.09.2011 |
| Opponents: | prof. Mgr. Milan Pokorný, Ph.D., DSc. |
| Guidelines |
| Diplomová práce se bude zabývat systémy stacionárních differenciálních rovnic, které jsou motivovány mechanikou tekutin. Bude se předpokládat, že disipativní potenciál má anisotropní růst.
Nejdříve bude třeba nastudovat existenční teorii pro dané systémy rovnic například podle knihy [1]. Dále se v diplomové práci zpracuje technika z článků [2] a [3], která se zde používá k důkazu (parciální) C^{1,\alpha} regularity slabého řešení. V poslední části bude cílem známé výsledky rozšířit. Specielně, zkusíme použít techniku z článků [2] a [3] na hraniční regularitu slabých řešení. Vodítkem bude článek [4], kde je hraniční regularita dokázaná jinou technikou. |
| References |
| [1] Málek, J.; Nečas, J.; Rokyta, M.; Růžička, M.: Weak and measure-valued solutions to evolutionary PDEs. (English. English summary) Applied Mathematics and Mathematical Computation, 13. Chapman & Hall, London, 1996.
[2] Apushkinskaya, D.; Bildhauer, M.; Fuchs, M.: Steady States of Anisotropic Generalized Newtonian Fluids, J. math. fluid mech. 7 (2005), 261-297. [3] Bildhauer, M. ; Fuchs, M. ; Zhong, X.: On strong solutions of the differential equations modeling the steady flow of certain incompressible generalized Newtonian fluids, Algebra i Analiz 18 (2006), no. 2, 1--23. [4] Kaplický, Petr: Regularity of flow of anisotropic fluid. J. Math. Fluid Mech. 10 (2008), no. 1, 71--88. |
| Preliminary scope of work |
| Reseni diferencialnich rovnic v klasickem smyslu je nekdy velice obtizne, ne-li primo nemozne. Proto se velice casto pojem reseni zeslabi a ukaze se pouze existence tohoto slabeho reseni, ktere ma horsi vlastnosti nez reseni klasicke. Je prirozene se ptat, jestli se tyto vlastnosti daji vylepsit, da-li se ukazat, ze toto slabe reseni je klasicke. Timto se zabyvat teorie regularit.
Regularita reseni diferencialnich rovnic byla intenzivne zkoumana v minulem stoleti a presto je zde stale mnoho otevrenych problemu. V teto oblasti se kombinuji znalosti z mnoha oboru jako napr. funkcionalni analyzy, teorie funkci atp. Je treba take rici, ze nektere postupy jsou znacne technicky narocne. Ukolem diplomove prace by bylo nastudovat existencni teorii pro urcitou tridu systemu stacionarnich diferencialnich rovnic s anizotropnimi rusty ve 2D podle knihy [1], dale metodu regularit pochazejici of De Giorgi, ktera je pouzita pro tyto rovnice v clanku [2]. Po zvladnuti techto technik je mozne se venovat rozsireni znamych vysledku. Napr. ukazat, ze kazde reseni je C^{1,\alpha}, hranicni regularita, atd. |