Thesis (Selection of subject)Thesis (Selection of subject)(version: 285)
Assignment details
   Login via CAS
Metoda nejmenší akce pro studium ojedinělých událostí
Thesis title in Czech:
Thesis title in English: Minimum Action Method for the Study of Rare Events
Academic year of topic announcement: 2008/2009
Type of assignment: diploma thesis
Thesis language: angličtina
Department: Department of Condensed Matter Physics (32-KFKL)
Supervisor: RNDr. Tomáš Novotný, Ph.D.
Author:
Guidelines
Práce bude probíhat v následujících krocích:

1. Studium úvodní literatury k tématu jak z hlediska fyzikálního [1,2], tak i matematického [3-9]. Uvedené citace jsou ilustrativní a pravděpodobně budou dále upřesněny po zahájení práce.
2. Formulace problému řešení KPZ rovnice ve více dimenzích v limitě slabého šumu (ve spolupráci s Prof. Hansem Fogedbym z dánského Aarhusu).
3. Volba vhodné numerické metody pro řešení problému a její implementace (ve spolupráci s Katedrou numerické matematiky v Karlíně).
4. Analýza výsledků, porovnání s analytickými metodami ve vhodné limitě, prezentace výsledků ve formě diplomové práce a případně i odborného článku.
References
1. H. C. Fogedby, Phys. Rev. E 59(5), 5065 (1999)
2. H. C. Fogedby and A. Brandenburg, Phys. Rev. E 66, 016604 (2002)
3. Weinan E, Weiqing Ren, and Eric Vanden-Eijnden, Phys. Rev. B 66, 052301 (2002)
4. Weinan E, Weiqing Ren, and Eric Vanden-Eijnden, Communications on Pure and Applied Mathematics, Vol. LVII, 0001-0020 (2004)
5. Weinan E, Weiqing Ren, and Eric Vanden-Eijnden, J. Phys. Chem. B 2005, 109, 6688-6693
6. Luca Maragliano et al., Jour. Chem. Phys. 125, 024106 (2006)
7. Philipp Metzner, Christof Schütte, and Eric Vanden-Eijnden, Jour. Chem. Phys. 125, 084110 (2006)
8. Bijoy K. Dey and Paul W. Ayers, Molecular Physics 104(4), 541-558 (2006)
9. Sean Mauch, Efficient Algorithms for Solving Static Hamilton-Jacobi Equations, PhD thesis, Caltech (2003)
Preliminary scope of work
Studium ojedinělých událostí je významným a rozsáhlým problémem nerovnovážné statistické fyziky. Generickým problémem je určení rychlostí přechodu mezi různými metastabilními konfiguracemi obecně nerovnovážného systému pod vlivem slabého šumu (šum musí být slabý v prvé řadě proto, aby identifikace metastabilních stavů vůbec dávala smysl). Fyzikální realizace tohoto problému se vyskytuje v široké třídě úloh zahrnujících např. chemickou reakční kinetiku, či růst povrchů.

V limitě slabého šumu se difuzní rovnice popisující stochastickou dynamiku redukují za použití tzv. singulární poruchové teorie (analogicky semi-klasické WKB aproximaci v kvantové mechanice) na Hamilton-Jacobiho rovnice (nelineární parciální diferenciální rovnice 1. řádu) popisující efektivní Hamiltonovskou dynamiku systému. Úloha nalézt rychlosti přechodu mezi metastabilními stavy se pak redukuje na výpočet klasické polní akce mezi odpovídajícími minimy efektivního potenciálu. Oproti standardním dynamickým problémům, kde se řeší počáteční úloha, je zde třeba vyřešit okrajovou úlohu deterministické polní dynamiky. Z numerického hlediska toto je podstatně těžší úloha než odpovídající úloha počáteční a cílem této práce je vývoj a zejména implementace metody umožňující efektivní řešení tohoto problému pro speciální případ vícerozměrné KPZ rovnice popisující růst povrchu [1,2]. Úkolem kandidáta bude pečlivá rešerše existujících metod [3-9], výběr nejvhodnější z nich, její implementace, testování a na závěr analýza a fyzikální interpretace získaných výsledků.

Práce bude provedena v úzké spolupráci s Prof. Hansem Fogedbym z Aarhusu (Dánsko) a numerická část bude konzultována na Katedře numerické matematiky MFF UK. Je vhodná zejména pro studenty matematického modelovaní, ale i pro teoretické fyziky se zájmem o numerické metody případně pro numerické matematiky se zájmem o fyziku.

Podrobnosti u T. Novotného (e-mail: tno@karlov.mff.cuni.cz, tel. 221 911 392). Po konzultaci se mohou tamtéž přihlásit.
 
Charles University | Information system of Charles University | http://www.cuni.cz/UKEN-329.html