Jemné vlastnosti specifických škál prostorů funkcí a operátorů na nich

• Thesis title in Czech: Jemné vlastnosti specifických škál prostorů funkcí a operátorů na nich
• Thesis title in English: Fine properties of specific scales of function spaces and operators acting on them
• Key words: Banachovy prostory funkcí|prostory invariantní vůči přerovnání|integrální operátory|Sobolevova vnoření|optimální cíle|optimální domény|redukční princip|kompaktnost
• English key words: Banach function spaces|rearrangement-invariant spaces|integral operators|Sobolev embeddings|optimal targets|optimal domains|reduction principle|compactness
• Academic year of topic announcement: 2024/2025
• Thesis type: dissertation
• Department: Department of Mathematical Analysis (32-KMA)
• Supervisor: prof. RNDr. Luboš Pick, CSc., DSc.

Guidelines

Student se nejprve seznámí s vhodnou časopiseckou a knižní literaturou. Poté se pokusí získat vlastní nové výsledky v teorii prostorů funkcí, operátorů působících na těchto prostorech a vztahů mezi jednotlivými prostory funkcí. Důraz bude kladen na specifické škály funkcí, které se osvědčily jako vhodné pro teoretický výzkum i konkrétní aplikace.

References

R.A. Adams, Sobolev spaces, Academic Press, New York, 1975,

D.R. Adams and L.I. Hedberg, Function spaces and potential theory, Springer, 1996,

M. Ariňo and B. Muckenhoupt: Maximal functions on classical Lorentz spaces and Hardy's inequality with weights for non-increasing functions, Trans. Amer. Math. Soc. 320 (1990), 727-735,

C. Bennett and R. Sharpley: Interpolation of operators, Academic Press, Pure and Applied Mathematics, Vol. 129, Boston, 1988,

H. Brézis and S. Wainger, A note on limiting cases of Sobolev embeddings and convolution inequalities, Comm. Partial Diff. Eq. 5 (1980), 773–789,

M. Carro, L. Pick, J. Soria and V. Stepanov, On embeddings between classical Lorentz spaces, Math. Ineq. Appl 4 (2001), 397–428,

A. Cianchi and L. Pick, Sobolev embeddings into spaces of Campanato, Morrey and Hölder type, J. Math. Anal. Appl. 282 (2003), 128–150,

A. Cianchi, L. Pick and L. Slavíková, Higher-order Sobolev embeddings and isoperimetric inequalities, Adv. Math. 273 (2015), 568–650,

D. V. Cruz-Uribe, A. Fiorenza: Variable Lebesgue spaces, Applied and Numerical Harmonic Analysis, Birkhäuser/Springer, Heidelberg (2013),

L. Diening, P. Harjulehto, P. Hästö, M. Růžička: Lebesgue and Sobolev spaces with variable exponents, Springer, Heidelberg (2011),

D.E. Edmunds, R. Kerman and L. Pick, Optimal Sobolev embeddings involving rearrangement-invariant quasinorms, J. Funct. Anal. 170 (2000), 307–355,

A. Gogatishvili and L. Pick, Discretization and anti-discretization of rearrangement-invariant norms, Publ. Mat. 47 (2003), 311–358,

K.–G. Grosse–Erdmann, The Blocking Technique, Weighted Mean Operators and Hardy’s Inequality, Lect. Notes Math. 1679, Springer, Berlin, 1998,

M.A. Krasnosel’skii and Ya.B. Rutitskii, Convex functions and Orlicz spaces, Noordhoff, Groningen, 1961,

A. Kufner, O. John and S. Fučík, Function spaces, Noordhoff, Leyden, Academia, Praha, 1977,

J. Lindenstrauss and L. Tzafriri, Classical Banach spaces I and II, Springer, Berlin, 1977,

E. Sawyer, Boundedness of classical operators on classical Lorentz spaces, Studia Math. 96 (1990), 145–158,

A.C. Zaanen, Linear Analysis, North-Holland, Amsterdam, 1960,

W.P. Ziemer, Weakly Differentiable Functions, Springer, New York, 1989

a klasická i současná časopisecká i knižní literatura.

Preliminary scope of work

Teorie prostorů funkcí je zásadní, moderní a dynamicky se rozvíjející disciplínou funkcionální analýzy se širokou a stále narůstající škálou aplikací, v jejímž středu nalézáme řadu hlubokých dosud nevyřešených otázek. Mnohé z nich jsou vhodné pro disertační práci.

Preliminary scope of work in English

The theory of function spaces is a very important, contemporary, and rapidly developing discipline of functional analysis with wide and continuously increasing field of applications, which still contains many deep and unsolved challenges. Some of them are appropriate for Ph.D. study.