Convergence properties of algebraic reconstruction methods

• Thesis title in Czech: Konvergenční vlastnosti metod algebraické rekonstrukce
• Thesis title in English: Convergence properties of algebraic reconstruction methods
• Key words: soustavy lineárních rovnic|lineární aproximační úlohy|iterační metody|asymptotická konvergence|semikonvergence
• English key words: linear systems of equations|linear approximation problems|iterative methods|asymptotic convergence|semiconvergence
• Academic year of topic announcement: 2023/2024
• Thesis type: Bachelor's thesis
• Thesis language: angličtina
• Department: Department of Numerical Mathematics (32-KNM)
• Supervisor: doc. RNDr. Iveta Hnětynková, Ph.D.
• Author: Michaela Kotuľová - assigned and confirmed by the Study Dept.
• Date of registration: 29.11.2023
• Date of assignment: 29.11.2023
• Confirmed by Study dept. on: 29.11.2023

Guidelines

Metody algebraické rekonstrukce vycházející z Kaczmarzovy methody představují širokou třídu technik pro řešení soustav lineárních algebraických rovnic, lineárních aproximačních problémů i ill-posed úloh zatížených neznámým šumem. Jsou implementačně nekomplikované a je možné je rozšířit o vynucení různých dodatečných podmínek na aproximaci řešení (tzv. solution constraints). Proto jsou široce používané v řadě aplikacích. Nevýhodou metod algebraické rekonstrukce je jejich konvergenční chování. Mohou konvergovat pomalu, dosahovat pouze nízké limitní přesnosti. Při řešení ill-posed úloh semikonvergují - v prvních iteracích se norma chyby zmenšuje, avšak poté začne divergovat. V bakalářské práci nejprve řešitel(ka) provede rešerši literatury - shrne vybrané metody ze zadané třídy a popíše jejich vlastnosti. Následně s využitím MATLABu, dostupných toolboxů a případně vlastních implementací experimentálně prověří konvergenční chování na různých úlohách.

References

R. Gordon, R. Bender and GT. Herman: Algebraic reconstruction techniques (ART) for three-dimensional electron microscopy and x-ray photography. Journal of Theoretical Biology. 29 (3): 471–81, 1970

P. C. Hansen and J. S. Jørgensen: AIR Tools II: algebraic iterative reconstruction methods, improved implementation. Numer. Algo., 79 (2018), pp. 107–137.

T. Strohmer and R. Vershynin. A randomized Kaczmarz algorithm with exponential convergence. Journal of Fourier Analysis and Applications, 15 (2009), no. 2, 262–278.