Maximal noncompactness of operators and embeddings

• Thesis title in Czech: Maximální nekompaktnost operátorů a vnoření
• Thesis title in English: Maximal noncompactness of operators and embeddings
• Key words: operátor|vnoření|maximální nekompaktnost|prostory posloupností|normované lineární prostory|Lorentzovy prostory
• English key words: operator|embedding|maximal noncompactness|sequence spaces|normed linear spaces|Lorentz spaces
• Academic year of topic announcement: 2023/2024
• Thesis type: Bachelor's thesis
• Thesis language: angličtina
• Department: Department of Mathematical Analysis (32-KMA)
• Supervisor: prof. RNDr. Luboš Pick, CSc., DSc.
• Author: hidden - assigned and confirmed by the Study Dept.
• Date of registration: 28.11.2023
• Date of assignment: 28.11.2023
• Confirmed by Study dept. on: 04.12.2023
• Date and time of defence: 18.06.2024 08:30
• Date of electronic submission: 08.05.2024
• Date of submission of printed version: 08.05.2024
• Date of proceeded defence: 18.06.2024
• Opponents: Dr. Mgr. Jan Lang, Ph.D.
• Advisors: RNDr. Zdeněk Mihula, Ph.D.

Guidelines

Studentka se seznámí se základními operátory a vnořeními fungujícími na prostorech posloupností zejména v situacích, kdy tyto nejsou kompaktní, a se základy teorie míry nekompaktnosti. Hlavní náplní práce bude výzkum takzvané maximální nekompaktnosti vnoření a operátorů, tedy otázka, zda je jejich míra nekompaktnosti rovna jejich operátorové normě. Při práci se zaměříme zejména kromě známých prostorů posloupností na méně často užívané prostory, jakými jsou například Lorentzovy prostory.

References

C. Bennett a R. Sharpley: Interpolation of operators, Academic Press, 1988,

J. Lindenstrauss a L. Tzafriri: Classical Banach spaces. I. Sequence spaces. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 92. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1977,

K.-G. Grosse-Erdmann: The blocking technique, weighted mean operators and Hardy's inequality, Lecture Notes in Math. 1679, Springer, 1998,

J. Lang, V. Musil, M. Olšák a L. Pick: Maximal non-compactness of Sobolev embeddings. J. Geom. Anal. 31 (2021), no. 9, 9406–9431,

J. Lang, Z. Mihula a L. Pick: Compactness of Sobolev embeddings and decay of norms. Studia Math. 265 (2022), no. 1, 1–35.

Preliminary scope of work

Kompaktnost operátorů patří k nejdůležitějším otázkám studovaným v moderní funkcionální analýze. Tato oblast je zajímavá nejen z teoretického hlediska, ale má i široké pole aplikací v mnoha oblastech matematiky. Rozdíl mezi kompatkností a nekompaktností je však často příliš hrubý a stojí za to studovat rozličná jeho jemnější rozlišení. K takovým patří zejména okruh problémů spojených s takzvanou mírou nekompaktnosti. Ta může nabývat jakýchkoli nezáporných hodnot nepřevyšujících operátorovou normu příslušného zobrazení. Zobrazení nazveme maximálně nekompaktní, jestliže jeho míra nekompaktnosti splývá s operátorovou normou. Náplní práce bude studium této vlastnosti u konkrétních operátorů na rozličných prostorech posloupností a funkcí.

Preliminary scope of work in English

The compactness of operators is one of the most important notions that have been studied in contemporary functional analysis. This field of mathematics is interesting not only from the theoretical point of view but, at the same time, has a wide array of applications in various parts of mathematics. The difference between compactness and noncompactness is however often too rough, and, therefore, it is worthwhile to study its various refinements. One particular example of such a refinement is offered by the set of problems concerning the so-called measure of noncompactness. The measure of noncompactness can attain any value between zero and the operator norm of the mapping in question. In the case when it coincides with the operator norm, the mapping is called maximally noncompact. The thesis will focus on the study of this property for various particular instances of operators and spaces.