Studium systému částic s periodickém chováním v limitě středního pole. Analýza pevných bodů a limitních cyklů dvourozměrné diferenciální rovnice.
References
[1] J.M. Swart (2017): A Course in Interacting Particle Systems. ArXiv:1703.10007.
[2] T. Mach, A. Sturm, and J.M. Swart (2018): Recursive tree processes and the mean-field limit of stochastic flows. (Electron. J. Probab. 25 (2020) paper No. 61, 1-63).
Preliminary scope of work
V takzvaném "cycle conform model" každý vrchol konečného grafu může být ve třech možných stavech: 0,1, nebo 2. Vrchol se probudí v časech daných Poissonovým procesem s intensitou jednou a provede jednu z dvou možných akcí. S pravděpodobností 1-p, vrchol nahradí svůj současný stav x stavem x+1 modulo tři. Se zbývající pravděpodobností p, vrchol náhodně vybere dva sousední vrcholy. Pokud oba sousedi jsou ve stejném stavu, vrchol tento stav zkopíruje. V opačném případě nedělá nic. Simulace tohoto modelu na třirozměrné celočíselné mřížce naznačují existenci tří různých režimů: Pro malé hodnoty p model má jednoznačnou invariantní míru, při níž se každý stav vyskytuje se stejnou frekvencí. Pro velké hodnoty p model má tři invariantní míry, při nichž pokaždé jeden stav dominuje. Pro střední hodnoty p proces nekonverguje do rovnováhy ale chová se periodicky.
V navržené práci by student studoval "cycle conform model" na kompletním grafu. V limitě středního pole, pro velké grafy, je časový vývoj frekvence stavů dán obecnou diferenciální rovnicí. Hlavní úkol práce by byla detailní analýza pevných bodů a limitních cyklů této obecné diferenciální rovnice.
Preliminary scope of work in English
In the cycle conform model, each vertex of a finite graph can be in three possible states: 0,1, or 2. At the times of a Poisson process with intensity one, a vertex wakes up and does one of two possible things. With probability 1-p, the vertex replaces its present state x by x+1, with calculation modulo three. With the remaining probability p, the vertex selects two neighbouring vertices at random and looks at their states. If both its neighbours are in the same state, then the vertex adopts this state. Otherwise, it does nothing. Simulations of this model on the three dimensional integer lattice show three regimes. For small values of p, there is a unique invariant measure, in which all types occur with the same frequency. For large values of p, there are three invariant measures, in which one of the three types dominates. For intermediate values of p, the process does not converge to equilibrium but instead behaves in a periodic way.
In the proposed thesis, the student studies this model on the complete graph. In the mean-field limit, for large complete graphs, the frequency of the three types is governed by an ordinary differential equation. Most of the work for the thesis consists of a detailed analysis of the fixed points and limit cycles of this ordinary differential equation.
