Symetrie a separace na příkladě Laplaceova operátoru v nízkých dimenzích

• Thesis title in Czech: Symetrie a separace na příkladě Laplaceova operátoru v nízkých dimenzích
• Thesis title in English: Symmetry and Separation in the case of Laplace operator in low dimensions
• Key words: Laplacův operátor, Eukleidov grup, separace proměnných, operátor symetrie
• English key words: Laplace operator, Euclidean group, separation of variables, symmetry operator
• Academic year of topic announcement: 2018/2019
• Thesis type: Bachelor's thesis
• Thesis language: čeština
• Department: Mathematical Institute of Charles University (32-MUUK)
• Supervisor: doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D.
• Author: hidden - assigned and confirmed by the Study Dept.
• Date of registration: 18.10.2018
• Date of assignment: 18.10.2018
• Confirmed by Study dept. on: 24.10.2018
• Date and time of defence: 21.06.2019 08:00
• Date of electronic submission: 16.05.2019
• Date of submission of printed version: 17.05.2019
• Date of proceeded defence: 21.06.2019
• Opponents: Mgr. Tomáš Salač, Ph.D.

Guidelines

Uchazeč nastuduje základní pojmy týkající se Lieových grup, zejména Eukleidových; parciálních diferenciálních operátorů, zejména souvisejících s jejich definicí a symetriemi, a problémů separace.
Toto bude aplikovat na operátor Laplace, popř. Helmholtze, v dimenzi dva, tj. na C^2(U, C), kde U je otevřená podmnožina R^2, a v dimenzi tři.
Podle časových možností dokáže (např. dle [1]) větu o aditivní separaci v dimenzi tři nebo se bude věnovat specialním funkcím, jež jsou řešeními obyčejných rovnic vzniklých při separaci příslušné rovnice parcialní, a to především jejich vlastnostem plynoucích z Eukleidovy symetrie příslušných parciálních diferenciálních operátorů.

References

[1] Miller, W.: Symmetry and Separation of Variables. CUP, 1977.
[2] Miller, W.: Symmetry, separation of variables, and special functions. Proc. Advanced Sem., Math. Res. Center, Univ. Wisconsin, 1975, pp. 305-351.
[3] Boyer, C., Kalnins, E., Miller, W.: Symmetry and separation of variables for the Helmholtz and Laplace equations, Nagoya Math. J., 60 (1976), pp. 35-80.
[4] Eastwood, M.: Higher symmetries of the Laplacian, Ann. of Math. (2) 161 (2005), No. 3, pp. 1645-1665.
[5] Mueller, C., E.: Analysis of spherical symmetries in Euclidean spaces, Applied Mathematical Sciences, 129. Springer-Verlag, 1998.
[6] Vilenkin, N.: Special Functions and the Theory of Group Representations, AMS Trans. 1968.
[7] Moon, P., Spencer, D.: Field Theory Handbook: Including Coordinate Systems, Differential Equations and Their Solutions. Springer-Verlag, 1961.

Preliminary scope of work in English

There are thirteen systems of coordinates in which the Laplace equation separates. There is also a nice interplay between the 1) space symmetry for the Laplace operator with 2) the symmetry exhibited on the space of functions, and 3) with operators commuting with the Laplace up to a certain order. Using relations between them, one can formulate and solve the classical problem on finding of such coordinates systems in which the Laplace equation separates in dimension three. Proof of that goes back at least to the texts of Staeckel and Eisenhart on this topic and continues by clarifying the proof and used notions in papers of Miller and Kalnins. Let us notice that this problem is further generalized by Michael Eastwood and Bertram Kostant in two different directions.