Simulation of two-dimensional flow past obstacles using lattice-gas cellular automata

• Thesis title in Czech: Simulace dvojrozměrného toku kolem překážek za použití "lattice-gas" celulárních automatů
• Thesis title in English: Simulation of two-dimensional flow past obstacles using lattice-gas cellular automata
• Key words: celulární automaty, Hardyho-Pomeaův-de Pazzisův model Frischův-Hasslacherův-Pomeaův model, turbulentní tok, dvojrozměrný tok
• English key words: cellular automata, Hardy-Pomeau-de Pazzis model, Frisch-Hasslacher-Pomeau, turbulent flow, two-dimensional flow, three dimensional flow
• Academic year of topic announcement: 2015/2016
• Thesis type: diploma thesis
• Thesis language: angličtina
• Department: Institute of Theoretical Physics (32-UTF)
• Supervisor: Mgr. Martin Scholtz, Ph.D.
• Author: hidden - assigned and confirmed by the Study Dept.
• Date of registration: 18.04.2016
• Date of assignment: 18.04.2016
• Confirmed by Study dept. on: 10.05.2017
• Date and time of defence: 16.06.2017 00:00
• Date of electronic submission: 12.05.2017
• Date of submission of printed version: 12.05.2017
• Date of proceeded defence: 16.06.2017
• Opponents: doc. RNDr. Michal Pavelka, Ph.D.

Guidelines

Cílem navrhované diplomové práce je seznámit se se základními modely lattice-gas celulárních automatů a se základními technikami pro jejich implementaci v jazyce C++. V rámci této práce budou nabyté poznatky použity ke zkoumání dvou základních problémů: obtékání dvojrozměrných profilů a studium statistických vlastností turbulence.

Přes veškerou složitost Navierových-Stokesových rovnic je možné tyto rovnice přesně řešit v některých idealizovaných případech. V případě dvojrozměrného, nestlačitelného a bezviskózního toku lze ukázat, že všechna řešení hydrodynamických rovnic jsou generována komplexní holomorfní funkcí a problém řešení rovnic se tak redukuje na nalezené komplexního potenciálu, který splňuje vhodné okrajové podmínky. Ukazuje se, že všechny případy dvojrozměrného toku je možné získat superpozicí několika základních elementárních toků. V předchozí bakalářské práci pod vedením Martina Scholtze byla aplikována metoda vírových panelů k získání toku kolem profilu libovolného tvaru a výpočty byly provedeny pro širokou třídu reálných existujících profilů křídel.

V rámci této diplomové práce bude problém obtékání profilu řešen metodou celulárních automatů. V první fázi se ověří, zda se výsledky simulace pomocí celulárních automatů redukují na výsledky získané jinými (konvenčními) metodami. V rámci toho bude třeba zvážit, jak vůbec výsledky získané pomocí celulárního automatu interpretovat, aby bylo možné je s konvenčními výsledky porovnat.

V druhé fázi budou opuštěny idealizující předpoklady o nestlačitelnosti a bezviskóznosti toku. Jedním z nejdůležitějších cílů práce bude studovat, zda modely založené na celulárních automatech připouštějí přechod od laminárního proudění k turbulentnímu, bude zkoumán vznik mezné vrstvy kolem obtékaného profilu křídla.

V paralelní části diplomové práce budou vyšetřovány statistické vlastnosti turbulence. Vypočítají se korelační strukturní funkce pro turbulentní tok a porovnají se s Kolmogorovými škálovacími zákony. Zde je hlavním cílem zjistit, zda v modelu celulárního automatu dojde k anomálnímu škálovaní, tedy odchylce od Kolmogorovova mocninového zákona.

Résumé cílů:

1. Detailní studium HPP a FHP modelů, včetně jejich statistických vlastností, odvození Navierových-Stokesových rovnic jako makroskopické limity FHP modelu.\

2. Implementace obou modelů v jazyku C++, výpočet makroskopických veličin a korelačních funkcí. Vizualizace rychlostního pole pomocí dostupného softwaru (Mathematica, GNUplot).

3. Studium obtékání profilu křídla letadla v FHP modelu. Porovnání modelu s existujícími přesnými výsledky za předpokladu nestlačitelnosti a bezviskóznosti.

4. Opuštění uvedených zjednodušujících předpokladů a analýza přechodu od laminárního k turbulentnímu proudění při obtékání profilu. Porovnání s existujícími metodami. Studium vzniku mezní vrstvy.

5. Studium korelačních funkcí v režimu rozvinuté turbulence. Hledání škálovacích zákonů a anomálního škálovaní, porovnání s existujícími přesnými výsledky v teorii renormalizační grupy.

References

[1] Uriel Frisch. Turbulence: The Legacy of A. N. Kolmogorov, Cambridge University Press, 1996

[2] Dieter A. Wolf-Gladrow. Lattice-gas cellular automata and lattice Boltzman models, Springer-Verlag, 2000

[3] Brian J. N. Wylie. Application of two-dimensional cellular automaton lattice-gas models to the simulation of hydrodynamics, PhD thesis, Edinburgh

[4] U. Frisch, B. Hasslacher, and Y. Pomeau. Lattice-Gas Automata for the Navier-Stokes Equation, Phys. Rev. Lett. 56 (1505) 1986

Preliminary scope of work

Říká se, že pochopení turbulence je poslední nevyřešený problém klasické fyziky. S nástupem stále dokonalejších numerických metod a stále výkonnějších počítačů to pomalu přestává platit. Dnes je již možné přímým numerickým řešením Navierových-Stokesových rovnic získat velmi realistické simulace laminárního i turbulentního toku. Stále však platí, že tyto simulace vyžadují obrovskou výpočetní kapacitu.

Vedle toho existují snahy o odlišné přístupy k pochopení turbulence. Znalost numerického řešení obvykle neodhaluje obecné zákonitosti, proto by bylo dobré mít i v teorii turbulence co nejvíc analytických, přesných řešení Navierových-Stokesových rovnic. Nalezení řešení, jež by popisovalo realistický turbulentní tok, je pravděpodobně beznadějná úloha, proto se analytické metody zaměřují na statistické vlastnosti turbulence. Významné úspěchy na tomto poli zaznamenalo aplikování metod kvantové teorie pole a renormalizační grupy na existenci tzv. škálovacích režimů v plně rozvinuté turbulenci. Pro tyto škálovací režimy existuje klasická Kolmogorovova-Obuchovova teorie, která předpokládá jednoduchou mocninovou závislost strukturních korelačních funkcí na Fourierově vlnovém čísle. Experimenty však ukazují, že reálné kapaliny vykazují netriviální odchylky od tohoto Kolmogorovova zákona, hovoříme o anomálním škálování. Metoda renormalizační grupy spojena s Feynmanovou diagramatickou technikou umožňuje efektivní studium těchto škálovacích režimů a vlastně poprvé tak vede k netriviálním přesným výsledkům v teorii turbulence.

Navierova-Stokesova rovnice může být chápána jako zákon zachování hybnosti, symetrie tenzoru napětí pak souvisí se zachováním momentu hybnosti. Pro numerické řešení je ovšem nutné rovnici diskretizovat a aplikovat vhodnou numerickou metodu. Není samozřejmostí, že diskretizovaná verze Navierovy-Stokesovy rovnice bude rovněž splňovat stejné zákony zachování. Přitom z fyzikálního hlediska je zachování zachovávajících se veličin důležitější, než možné drobné odchylky od skutečné dynamiky systému. Tak je tomu například v molekulových simulacích, kde se rozlišují algoritmy podle toho, jakou veličinu zachovávají. Například pro NVT algoritmus (kanonický soubor) se ve vhodných časových intervalech upravují rychlosti molekul tak, aby byly zachovány veličiny $V$ (objem) a $T$ (teplota). Jinou možností je zavedení speciálního Hamiltoniánu s virtuálními proměnnými (Nosého-Hooverův termostat). Tyto případy zmiňujeme, abychom zdůraznili, že zachování veličin, které mají být z fyzikálího hlediska během evoluce systému konstantní, je důležitým kritériem správnosti použitého modelu nebo numerické metody.

Přístup založený na celulárních automatech se opírá právě o toto pozorování. Zadání diplomové práce se omezuje na tzv. {\itshape lattice-gas} celulární automaty, proto pod celulárním automatem budeme myslet právě tento typ.

Celulární automat je mikroskopickým, ale velmi zjednodušeným modelem tekutiny. Ve skutečné tekutině interagují molekuly na dálku a toto působení může být aproximováno například Lennár\-dovým-Jonesovým potenciálem. Rychlosti i polohy molekul jsou spojité veličiny a LJ potenciál je rotačně i translačně symetrický. Z toho plyne zachování hybnosti a momentu hybnosti v takovém modelu. LJ potenciál se vzdáleností rychle klesá, ale v principu se jedná a dalekodosahovou interakci.

V lattice-gas modelech polohy ani rychlosti molekul nejsou spojité. Polohy jsou omezeny na uzly vhodně zvolené diskrétní mřížky a vektory rychlosti částic mohou ukazovat jenom od jednoho uzlu mřížky k sousednímu. Počet možných stavů rychlosti je potom dán geometrií mřížky. Velikost rychlosti se volí rovna jedné pro všechny molekuly. K interakcím mezi částicemi tekutiny dochází jenom tehdy, když se víc částic sejde v jednom uzlu mřížky. Jednotlivé modely se liší geometrií mřížky a druhem možných interakcí (srážek) částic v uzlech mřížky.

Klíčová vlastnost těchto modelů je, že srážky automaticky zachovávají hybnost. Na rozdíl od běžných numerických metod tak nemůže dojít k nárůstu či poklesu hybnosti v důsledku numerické nepřesnosti. Klasický model HPP uvažoval čtvercovou mřížku a pouze dvojčásticové kolize, pozdějším významným vylepšením byl model FHP. V tomto modelu se uvažuje hexagonální symetrie mřížky a v uzlech mřížky může docházet k dvoj, troj, i čtyř-částicovým srážkám. Model je koncipován tak, aby vykazoval rotační symetrii (zásadní nedostatek dřívějšího modelu HPP) a bylo ukázáno, že tento model ve statistickém smyslu reprodukuje Navierovy-Stokesovy rovnice.

Výhodou těchto modelů je, že jsou výpočetně podstatně méně náročné, neboť interakce mezi částicemi je zjednodušena na minimum. Numerické výpočty je možné snadno paralelizovat, neboť každá buňka celulárního automatu interaguje jen se svými bezprostředními sousedy. Poměrně jednoduchá je i implementace celulárních automatů. I přes tuto koncepční i programátorskou jednoduchost vykazují celulární automaty velmi komplexní chování a samoorganizaci. Proto část vědců věří, že celulární automaty představují vhodný přístup k simulacím všech komplexních jevů nebo dokonce k základním fyzikálním zákonům.