hidden - assigned and confirmed by the Study Dept.
Date of registration:
08.11.2012
Date of assignment:
09.11.2012
Confirmed by Study dept. on:
23.11.2012
Date and time of defence:
08.09.2014 00:00
Date of electronic submission:
30.07.2014
Date of submission of printed version:
31.07.2014
Date of proceeded defence:
08.09.2014
Opponents:
doc. Mgr. Pavel Růžička, Ph.D.
Guidelines
Student by měl pochopit základní pojmy a příslušnou teorii: Separabilní algebry, redukované normy, stopy, "maximal order" a propočítat některá cvičení z [1]. Dále pak něco ze strukturní teorie, nejlépe Jordanovu-Zassenhausovu větu, což je vlastně zobecnění tvrzení o konečnosti třídové grupy číselného tělesa.
References
[1] I. Reiner, Maximal Orders, LMS monographs new series 28, Oxford University Press, 2003
[2] A. Drápal, Komutativní okruhy (skripta k přednášce), http://www.karlin.mff.cuni.cz/~drapal/
Preliminary scope of work
Jedním z klíčových objektů v algebraické teorie čísel je Dedekindův obor, kde místo jednoznačnosti rozkladů prvků na součin prvočinitelů máme podobné tvrzení pro ideály (viz přednáška Komutativní okruhy). Podobné vlastnosti lze pozorovat u určitých okruhů, které tvoří jakousi mříž v separabilní konečně-dimenzionální algebře nad číselným tělesem (příkladem může být okruh čtvercových matic s celočíselnými koeficienty). Takové okruhy se označují jako 'maximal orders'. Některé klasické výsledky z teorie čísel je možno získat právě oklikou přes tyto objekty, například známé tvrzení, že každé přirozené číslo je součtem čtyř čtverců, je vlastně tvrzení o redukované normě racionálních kvaternionů.
Preliminary scope of work in English
Dedekind domain (that is a commutative domain with unique factorization of ideals) is one of the basic objects in algebraic number theory. Some of its properties can be seen in rings that form lattices in finite-dimensional separable algebras over algebraic number fields (for example ring of square matrices with integral coefficients). Such rings are called maximal orders. Some classical results from number theory can be derived as results about maximal orders. For example, the statement 'every positive rational integer is a sum of four squares' can be seen (and proved) as a statement on a reduced norm of rational quaternion algebra.
- assigned and confirmed by the Study Dept.