Integrabilita v Hamiltonově mechanice
| Thesis title in Czech: | Integrabilita v Hamiltonově mechanice |
|---|---|
| Thesis title in English: | Integrability in Hamiltonian machanics |
| Key words: | symplektická varieta, hamiltonovský systém, Liouvillova–Arnoldova věta, Keplerův problém |
| English key words: | symplectic manifold, hamiltonian system, Liouville–Arnold theorem, Kepler’s problem |
| Academic year of topic announcement: | 2018/2019 |
| Thesis type: | Bachelor's thesis |
| Thesis language: | čeština |
| Department: | Mathematical Institute of Charles University (32-MUUK) |
| Supervisor: | doc. RNDr. Svatopluk Krýsl, Ph.D. |
| Author: | hidden - assigned and confirmed by the Study Dept. |
| Date of registration: | 16.10.2018 |
| Date of assignment: | 16.10.2018 |
| Confirmed by Study dept. on: | 01.11.2018 |
| Date and time of defence: | 25.06.2019 09:00 |
| Date of electronic submission: | 15.05.2019 |
| Date of submission of printed version: | 15.05.2019 |
| Date of proceeded defence: | 25.06.2019 |
| Opponents: | doc. RNDr. Robert Švarc, Ph.D. |
| Guidelines |
| Řešitel se seznámí s geometrickou formulací Hamiltonových rovnic (systém obyčejných lineárních rovnic řádu 1) v rámci tzv. symplektických variet (obecný popis mechanických systémů).
Těžištěm práce bude pochopit a aplikovat tzv. Arnoldovu-Liovilleovu větu o integrabilitě na jednoduché mechanické systémy, jako např. pohyb v homogenním tíhovém poli, problém dvou těles v Newtonově teorii gravitace, setrvačník volný nebo setrvačník Lagrangeův, popř. nějaký méně známý systém z mechaniky. Eventuálně může také nastudovat a přehledně napsat její matematický důkaz. V rámci časových možností se řešitel může seznámit a následně použít teorii momentových zobrazení (studium symetrií Hamiltonových systémů). |
| References |
| [1]Arnold, V., Mathematical methods of Classical mechanics, Springer, New-York, 1989 (příp. ruská nebo německá verze).
[2]Thirring, W., A course in mathematical Physics: Classical Dynamical Systems, Springer, New-York-Vienna, 1978 (příp. německá verze). [3]Marsden, J., Ratiu, T., Inrtroduction to Mechanics and Symmetry, Springer-Verlag, New-York-Berlin, 1994. [4]Brdička, M., Hladík, A., Teoretická mechanika, Praha, Academia, 1987. |
| Preliminary scope of work |
| Pokud známe dostatečně mnoho symetrií systému, můžeme vyřešit příslušný systém ODR (Newtonův, Lagrangeův nebo Hamiltonův) i bez integrování těchto rovnic. Např. při výpočtu pohybu planet, v rámci newtonovské gravitace, se zachovává nejen energie (systém není disipativní) a moment hybnosti, ale i tzv. Ruenge-Lenzův vektor. V tomto případě lze jednoduše ("algebraicky") zjistit, že dráha se odvíjí po křivce splňující kvadratickou rovnici v prostorových proměnných, jejíž analýzou lze dovodit, že jde
o hyperbolu, přímku, elipsu či kružnici. Složitější systémy s "dostatečně" symetriemi jsou představovány např. Lagrangeovým setrvačníkem či setrvačníkem Kovalevské. |