Cílově orientované odhady chyby pro nelineární úlohy
| Thesis title in Czech: | Cílově orientované odhady chyby pro nelineární úlohy |
|---|---|
| Thesis title in English: | Goal-oriented error estimates for nonlinear problems |
| Key words: | Cílově orientované odhady chyby|nelineární úlohy|algebraická chyby|BiCG metoda |
| English key words: | Goal-oriented error estimates|nonlinear problem|algebraic errors|BiCG method |
| Academic year of topic announcement: | 2023/2024 |
| Thesis type: | diploma thesis |
| Thesis language: | |
| Department: | Department of Numerical Mathematics (32-KNM) |
| Supervisor: | prof. RNDr. Vít Dolejší, Ph.D., DSc. |
| Author: |
| Guidelines |
| Cílem práce je odvodit aposteriorních odhady chyby cílového funkcionálu zahrnující diskretizační a algebraickou chybu pro nelineární parciální diferenciální rovnice. Na základě odvozených odhadů chyby pak navrhnou algoritmus založený na kontrole chyby a provést numerické experimenty.
1) studium literatury dle pokynů školitele 2) odvození aposteriorních odhadů chyby cílového funkcionálu 3) návrh numerické algoritmu 4) implementace metody 5) numerické experimenty |
| References |
|
W. Bangerth, R. Rannacher: Adaptive Finite Element Methods for Differential Equations. Lectures in Mathematics. ETH Zürich, 2003 D. Meidner, R.Rannacher, J. Vihharev: Goal-oriented error control of the iterative solution of finite element equations, Journal of Numerical Mathematics, 17(2):143–155, 2009 R. Hartmann: Adjoint consistency analysis of discontinuous galerkin discretizations. SIAM Journal on Numerical Analysis, 45(6):2671–2696. V. Dolejsi, M. Feistauer: Discontinuous Galerkin Method - Analysis and Applications to Compressible Flow, Springer-Verlag, 2015 V. Dolejsi, G. May, A. Rangarajan, F. Roskovec: A goal-oriented high-order anisotropic mesh adaptation discontinuous Galerkin method for linear convection-diffusion-reaction problems, SIAM Journal of Scientific Computing 41(3):A1899-A1922, 2019. V. Roskovec: Goal-oriented a posteriori error estimates and adaptivity for the numerical solution of partial differential equations, PhD Thesis, Charles University, Prague, 2019 |
| Preliminary scope of work |
| Numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic je zatíženo chybou diskretizace a též algebraickými chybami v důsledku nepřesného řešení vzniklých algebraických soustav. Tyto chyby je třeba odhadnout na základě spočteného řešení. V řadě praktických problémů nás nezajímá vlastní řešení, ale spíše hodnota tzv. cílového funkcionálu. Pak tedy nepotřebujeme odhad chyby v klasických Sobolevovských normách, ale odhad chyby tohoto funkcionálu, což lze provést pomocí řešení tzv. duální úlohy. Pro lineární úlohy je tato problematika poměrně dobře zpracovaná, ale pro nelineární úlohy existuje málo výsledků.
Práce se zaměří na odhady diskretizační a algebraické chyby cílového funkcionálu a následný vývoj vhodné iterační metody. Práce je zaměřena na problémy mechaniky tekutin, zejména řešení Navierových-Stokesových rovnic pro proudění stlačitelné tekutiny. |
| Preliminary scope of work in English |
| Numerical solution of partial differential equations suffers from discretization errors and also by algebraic errors due to imprecise solution of the resulting algebraic systems. These errors must be estimated based on the calculated solution. In a number of practical problems, we are not interested in the solution itself, but rather in the value of the so-called target functional. Then we do not need to estimate of the error in the classical Sobolev norms, but the goal is to estimate of the error of this functional, which can be done by solving the so-called dual problem. For linear problems, this problem is relatively well-known, but there are few results for nonlinear problems.
The work will focus on estimates of the discretization and algebraic errors of the target functional and the subsequent development of a suitable iterative method. The thesis focuses on the solution of the compressible Navier-Stokes equations. |