Vlastnosti zobrazení s konečnou distorzí
| Thesis title in Czech: | Vlastnosti zobrazení s konečnou distorzí |
|---|---|
| Thesis title in English: | Properties of mappings of finite distortion |
| Key words: | Zobrazení s konečnou distorzí, spojitost, modulus spojitosti. |
| English key words: | Mapping of finite distortion, continuity, modulus of continuity |
| Academic year of topic announcement: | 2008/2009 |
| Thesis type: | diploma thesis |
| Thesis language: | angličtina |
| Department: | Department of Mathematical Analysis (32-KMA) |
| Supervisor: | prof. RNDr. Stanislav Hencl, Ph.D. |
| Author: | hidden - assigned and confirmed by the Study Dept. |
| Date of registration: | 08.12.2008 |
| Date of assignment: | 08.12.2008 |
| Date and time of defence: | 26.05.2011 00:00 |
| Date of electronic submission: | 13.04.2011 |
| Date of submission of printed version: | 15.04.2011 |
| Date of proceeded defence: | 26.05.2011 |
| Opponents: | prof. RNDr. Jan Malý, DrSc. |
| Guidelines |
| Řekneme, že zobrazení f z euklidovského prostoru R^n do R^n má konečnou vnější (respektive vnitřní) distorzi, pokud je jeho jakobián nezáporný a navíc je |Df| nulový (respektive |adj Df| je nulový) skoro všude na množině, kde je jakobián nulový. Zde Df značí matici derivací f, jakobián je determinant této matice a adj Df je příslušná adjungovaná matice.
Studium zobrazení s konečnou distorzí je částečně motivováno teorií nelineární elasticity a zdá se, že některé takovéto nelineární třídy zobrazení by mohly dobře sloužit jako třídy příslušných deformací. Hlavním cílem teorie zobrazení s konečnou distorzí je nalezení co nejslabších podmínek, za kterých je zobrazení spojité, diferencovatelné, invertovatelné a zobrazuje množiny nulové míry na množiny nulové míry. Tyto otázky jsou nyní poměrně známé a prostudované pro zobrazení s konečnou vnější distorzí. Cílem této práce je prostudovat třídu zobrazení s konečnou vnitřní distorzí a pokusit se alespoň na některé tyto otázky odpovědět pro tuto širší třídu zobrazení. |
| References |
| Kauhanen J., Koskela P., Malý J.: Mappings of finite distortion: Condition N, Michigan Math. J. 49 (2001), 169--181.
Koskela P., Malý J.: Mappings of finite distortion: the zero set of the Jacobian, J. Eur. Math. Soc. 5 (2003), 95--105. Iwaniec T., Koskela P., Onninen J.: Mappings of finite distortion: Monotonicity and continuity, Invent. Math. 144 (2001), 507--531. Iwaniec T., Martin G.: Geometric function theory and nonlinear analysis, Oxford Mathematical Monographs, Clarendon Press, Oxford 2001. Šverák V.: Regularity properties of deformations with finite energy, Arch. Rational Mech. Anal. 100 (1988), 105--127. |
| Preliminary scope of work |
| Řekneme, že zobrazení f z euklidovského prostoru R^n do R^n má konečnou vnější (respektive vnitřní) distorzi, pokud je jeho jakobián nezáporný a navíc je |Df| nulový (respektive |adj Df| je nulový) skoro všude na množině, kde je jakobián nulový. Zde Df značí matici derivací f, jakobián je determinant této matice a adj Df je příslušná adjungovaná matice.
Studium zobrazení s konečnou distorzí je částečně motivováno teorií nelineární elasticity a zdá se, že některé takovéto nelineární třídy zobrazení by mohly dobře sloužit jako třídy příslušných deformací. Hlavním cílem teorie zobrazení s konečnou distorzí je nalezení co nejslabších podmínek, za kterých je zobrazení spojité, diferencovatelné, invertovatelné a zobrazuje množiny nulové míry na množiny nulové míry. Tyto otázky jsou nyní poměrně známé a prostudované pro zobrazení s konečnou vnější distorzí. Cílem této práce je prostudovat třídu zobrazení s konečnou vnitřní distorzí a pokusit se alespoň na některé tyto otázky odpovědět pro tuto širší třídu zobrazení. |
| Preliminary scope of work in English |
| We say that a mapping f from the euclidean space R^n to R^n has finite outer (respectively inner) distortion if its jacobian is nonnegative and moreover |Df| vanishes (respectively |adj Df| vanishes) almost everywhere in the zero set of the jacobian.
The motivation for study of mappings of finite distortion stems partially from nonlinear elasticity. It seems that some related nonlinear classes of mappings might serve as classes of deformations. The main goal of the theory of mappings of finite distortion is to look for weak assumptions for continuity, differentiability, invertibility and for the property that f maps sets of measure zero to sets of measure zero. These questions are nowadays quite well understood for mappings of finite outer distortion. The aim of this thesis is to find answers for at least some of these questions for a broader class of mappings of finite inner distortion. |