Odhad dimenze atraktoru pro reakci-difuzi v Rn metodou trajektorií
| Thesis title in Czech: | Odhad dimenze atraktoru pro reakci-difuzi v Rn metodou trajektorií |
|---|---|
| Thesis title in English: | An estimate of the attractor for reaction-diffusion system in Rn by using the method of trajectories |
| Academic year of topic announcement: | 2007/2008 |
| Thesis type: | Bachelor's thesis |
| Thesis language: | čeština |
| Department: | Mathematical Institute of Charles University (32-MUUK) |
| Supervisor: | doc. RNDr. Miroslav Bulíček, Ph.D. |
| Author: | hidden - assigned and confirmed by the Study Dept. |
| Date of registration: | 12.12.2007 |
| Date of assignment: | 10.01.2008 |
| Guidelines |
| Student by se měl seznámit s metodou trajektorií a metodou Ljapunovovských exponentů. Získané poznatky o metodě trajektorií by pak měl aplikovat na rovnici popisující reakci a difuzi a spočítat explicitně horní odhad na dimenzi atraktoru za předpokladu, že atraktor existuje. Poté by měl porovnat takto získané výsledky s těmi, které je možno získat pomocí metody trajektorií. |
| References |
| R. Temam, Infinite-Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics, 2nd ed., Springer-Verlag, New York, 1997.
J. Málek, D. Pražák, Large time behavior via the method of $l$-trajectories. J. Differential Equations 181 (2002), no. 2, 243--279 |
| Preliminary scope of work |
| Cílem práce je zkoumat fraktální dimenzi atraktoru pro lineární rovnici popisující reakci a difůzi v omezené otevřené podnožině R^n. Student by se měl seznámit s odbornou literaturou popisujicí metodu trajektorií zcela obecně a poté by měl aplikovat získané poznatky na rovnici
u_{,t} - k\triangle u + f(u) = 0, v \Omega \subset R^n kde u = 0 na na hranici. Za předpokladu, že atraktor existuje, student by měl spočítat horní explicitní odhad na jeho dimenzi v závislosti na k,L,\lambda_1, kde L je konstanta lipschitzovskosti funkce f a \lambda_1 je první vlastní číslo Laplaceova operátoru. Získaný odhad by pak měl porovnat s tím, který je možno získat pomocí metody Ljapunovovských exponentů za předpokladu |f'|<L. |
| Preliminary scope of work in English |
| The goal of this work is to study a fractal dimension of the attractor to linear reaction-diffusion system in an open bounded subset of R^n. First, student should study literature that describes method of trajectories and then apply this method onto the equation
u_{,t} - k\triangle u + f(u) = 0, v \Omega \subset R^n with u=0 on the boundary. Under the assumption on existence of the attractor, student should compute an explicit upper estimate on its dimension with respect to parameters k,L,\lambda_1, where L is the Lipschitz constant of the function f and \lambda_1 is the first eigenvalue of Laplace operator. Such estimate then should be compared with that one which is available for |f'|<L by using Ljapunov exponents. |