Efektivní řešení Poissonovy úlohy pro spektrální diskretizace
| Thesis title in Czech: | Efektivní řešení Poissonovy úlohy pro spektrální diskretizace |
|---|---|
| Thesis title in English: | Fast Poisson solvers for spectral methods |
| Key words: | efektivní řešení|Poissonova úloha|spektrální metoda |
| English key words: | fast Poisson solver|spectral method |
| Academic year of topic announcement: | 2024/2025 |
| Thesis type: | Bachelor's thesis |
| Thesis language: | |
| Department: | Mathematical Institute of Charles University (32-MUUK) |
| Supervisor: | Mgr. Jan Blechta, Ph.D. |
| Author: | Filip Baltovič - assigned and confirmed by the Study Dept. |
| Date of registration: | 08.11.2024 |
| Date of assignment: | 13.11.2024 |
| Confirmed by Study dept. on: | 13.11.2024 |
| Advisors: | doc. Mgr. Vít Průša, Ph.D. |
| Guidelines |
| Efektivní řešič pro Poissonovu úlohu v jedné dimenzi je užitečná komponenta pro vyšší dimenze i jako předpodmínění pro složitější diferenciální rovnice. Uvažujeme-li diskretizace ve vyšších dimenzích, jež jsou tenzorovým součinem, nabízí se použití ADI (alternating direction implicit) metody, kde je třeba řešit Poissonovu úlohu s shiftem.
Cílem práce bude seznámit se s růzmými metodami spektrálního typu (kolokace, tau metoda, hypersferická metoda), naučit se Fourierovou transformací řešit Poissonovu úlohu za téměř optimální komplexitu (např. O(N log N), kde N je počet stupňů volnosti) a porovnat tyto metody. Nejprve se studující naučí řešit jednodimenzionální problémy, přičemž se pečlivě naučí zacházení s okrajovými podmínkami, a následně přidá shift. Je třeba rovněž klást důraz na numerickou stabilitu a přesnost. |
| References |
| Mason, J. C.; Handscomb, D. C.; Chebyshev polynomials. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL, 2003. xiv+341 pp. ISBN:0-8493-0355-9
T. A. Driscoll, N. Hale, and L. N. Trefethen (Eds.); Chebfun Guide, Pafnuty Publications, Oxford, 2014. URL: https://www.chebfun.org/docs/guide/chebfun_guide.pdf Olver, Sheehan; Townsend, Alex; A fast and well-conditioned spectral method. SIAM Rev.55(2013), no.3, 462–489. https://doi.org/10.1137/120865458 Fortunato, Daniel; Townsend, Alex; Fast Poisson solvers for spectral methods. IMA J. Numer. Anal.40(2020), no.3, 1994–2018. https://doi.org/10.1093/imanum/drz034 |