Metoda Vandermonde with Arnoldi

• Thesis title in Czech: Metoda Vandermonde with Arnoldi
• Thesis title in English: The Vandermonde with Arnoldi method*
• Key words: Prokládání dat polynomem|Vandermondeho matice|Problém nejmenších čtverců|Krylovovy podprostory|Arnoldiho algoritmus
• English key words: polynomial data fitting|Vandermonde matrices|least squares problem|Krylov subspaces|Arnoldi algorithm
• Academic year of topic announcement: 2024/2025
• Thesis type: Bachelor's thesis
• Thesis language: čeština
• Department: Department of Numerical Mathematics (32-KNM)
• Supervisor: doc. RNDr. Petr Tichý, Ph.D.
• Author: hidden - assigned and confirmed by the Study Dept.
• Date of registration: 08.10.2024
• Date of assignment: 08.10.2024
• Confirmed by Study dept. on: 08.10.2024
• Date and time of defence: 04.09.2025 09:00
• Date of electronic submission: 17.07.2025
• Date of submission of printed version: 17.07.2025
• Date of proceeded defence: 04.09.2025
• Opponents: doc. RNDr. Iveta Hnětynková, Ph.D.

Guidelines

Práce se zaměří na problém fitování polynomů na data metodou nejmenších čtverců. Známý polyfit algoritmus, který k výpočtu používá Vandermondeovy matice, je pro vyšší stupeň polynomů numericky nestabilní. Autoři článku [1] ukázali možnost, jak problém fitování polynomů na data řešit spojením Vandermondeovy konstrukce s Arnoldiho ortogonalizací. Cílem práce je shrnout výsledky článku [1] společně s příslušnou teorií a zamyslet se nad dalším možným využitím prezentované myšlenky. Numerické experimenty v Matlabu (s využitím toolboxu Chebfun) se zaměří na srovnání klasického a nového přístupu řešení uvažovaného problému.

References

[1] P. D. Brubeck, Y. Nakatsukasa, and L. N. Trefethen, Vandermonde with Arnoldi, SIAM Review 63, 405-415, 2021.

[2] G. Dahlquist and A. Björck, Numerical Methods in Scientific Computing, Vol. 1, SIAM, Philadelphia, PA, 2008, xxviii+717 pp.

[3] Q. Niu, H. Zhang, and Y. Zhou, Confluent Vandermonde with Arnoldi, Applied Mathematics Letters 135, 2023.

[4] N. L. Trefethen, Approximation Theory and Approximation Practice, Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, PA, 2013, viii+305 pp.

Preliminary scope of work

Fitování polynomů na data pomocí Vandermondových matic je notoricky známý numericky nestabilní algoritmus. V této práci budeme studovat, jak lze tento problém vyřešit spojením Vandermondeovy konstrukce s Arnoldiho ortogonalizací. Motivační příklad lze nalézt na https://www.chebfun.org/examples/linalg/VandermondeArnoldi.html.

Preliminary scope of work in English

Fitting polynomials to data by means of Vandermonde matrices is a notoriously unstable algorithm. In this work we study how the problem can be fixed by coupling the Vandermonde construction with Arnoldi orthogonalization. A motivating example can be found at https://www.chebfun.org/examples/linalg/VandermondeArnoldi.html.