Maximální regularita a zlá lambda nerovnost
| Thesis title in Czech: | Maximální regularita a zlá lambda nerovnost |
|---|---|
| Thesis title in English: | Maximal regularity and bad lambda inequality |
| Key words: | Lp prostory|good lambda nerovnost|regularity|generalized Stokes problem |
| English key words: | Lp spaces|good lambda inequality|regularity|generalized Stokes problem |
| Academic year of topic announcement: | 2024/2025 |
| Thesis type: | Bachelor's thesis |
| Thesis language: | |
| Department: | Department of Mathematical Analysis (32-KMA) |
| Supervisor: | doc. Mgr. Petr Kaplický, Ph.D. |
| Author: |
| Guidelines |
| Cílem práce je přehledně zpracovat danou problematiku na základě navržené literatury. Důraz bude kladen na uspořádání, srozumitelnost a přesnost prezentace.
|
| References |
| 1) L.A. Caffarelli, I. Peral: On W^{1,p} estimates for elliptic equations in divergence form. Comm. Pure Appl. Math. 51 (1998), no. 1, 1–21.
2) J. Kristensen, G. Mingione: The singular set of minima of integral functionals. Arch. Ration. Mech. Anal. 180 (2006), no. 3, 331–398. 3) P. Kaplický: On Lq estimates of planar flows up to boundary, Contemporary Mathematics 666 (2016), 253-264,doi: 10.1090/conm/666 |
| Preliminary scope of work |
| Hodná lambda nerovnost je jedním z možných přístupů k důkazu maximální regularity pro řešení Laplaceovy rovnice v prostorech L^p. Přesněji jde o tvrzení, že pokud jisté p>1 a kouli B platí \Delta u\in L^p(2B), pak \nabla^2 u\in L^p(B). Zpracováno je to například v článcích [1] a [2].
Základním modelem mechaniky tekutin je stacionární Stokesovův systém rovnic, který popisuje pomalé ustálené proudění v předepsané oblasti. Laplaceově rovnici je velice podobný. Dobrá lambda nerovnost lze použít na regularitu řešení uvnitř studované oblasti. Pokud ale Stokesův systém trochu zobecníme tak, aby popisoval například tok magmatu, ledovců nebo husté polévky, a zabýváme se regularitou řešení až do hranice, nelze dobrá lambda nerovnost použít. Pravděpodobně lze ale odvodit její variantu založenou na výsledku v [3], zde prozatím označenou jako zlá lambda nerovnost. Cílem je rozhodnout, jestli zlá lambda nerovnost umožní ukázat alespoň nějakou regularitu řešení Stokesova problému až do hranice. |