Geometrické integrátory
| Thesis title in Czech: | Geometrické integrátory |
|---|---|
| Thesis title in English: | Geometruc integrators |
| Key words: | Obyčejná diferenciální rovnice|numerické řešení|hamiltonovský formalismus|symplektický integrátor|parciální diferenciální rovnice|Poissonovský integrátor |
| English key words: | Ordinary differential equation|numerical solution|Hamiltonian formalism|symplectic integrator|partial differential equations|Poisson integrator |
| Academic year of topic announcement: | 2023/2024 |
| Thesis type: | diploma thesis |
| Thesis language: | |
| Department: | Mathematical Institute of Charles University (32-MUUK) |
| Supervisor: | doc. RNDr. Michal Pavelka, Ph.D. |
| Author: |
| Guidelines |
| Během práce by měly být vypracovány tyto body:
1) Úvod do hamiltonovské mechaniky (symplektická a Poissonovská) [1] 1) Úvod do symplektických a poissonovských integrátorů [2,3] 2) Vlastní implementace vybraných algoritmů pro hamiltoniány ve speciálním tvaru a následně v obecném tvaru [2,3] 3) Implementace nových integrátorů z [4] pro obecné hamiltoniány 4) Porovnání klasických a nových integrátorů s aplikací například v pohybu částic, metodě konečných prvků pro elasticitu, rotaci tuhého tělesa. |
| References |
| [1] Pavelka, Klika, Grmela. Multiscale Thermo-Dynamics, de Gruyter (Berlin), 2018
[2] Hairer, Lubich, Wanner, Geometric Numerical Integration: Structure-Preserving Algorithms for Ordinary Differential Equations, Springer 2006 [3] Karasözen, Poisson integrators, Mathematical and Computer Modelling, Volume 40, Issues 11–12, 2004, Pages 1225-1244. [4] Pavelka, Klika, Grmela, Ehrenfest regularization of Hamiltonian systems, Physica D: Nonlinear phenomena, 399, 193-210, 2019 |
| Preliminary scope of work |
| Stojíme před problémem vyřešit numericky pohybovou rovnici pro částici konající periodický pohyb (kyvadlo, obíhání kolem hvězdy, apod.). Jakou numerickou metodu zvolit? Ukazuje se, že klasické metody typu Runge-Kutta typicky nezachovávají energii ani tvar trajektorie. Naštěstí existují symplektické integrátory, kteřé řeši Hamiltonovy kanonické rovnice a které jak energii tak tvar trajektorií zachovávají velmi přesně. Typicky však mají jeden nedostatek, a to že předpokládají, že energie (hamiltonián) je ve tvaru kinetická plus potenciální energie. Cílem práce je prozkoumat nové symplektické integrátory, které by mohly mít výhodu právě pro obecné hamiltoniány, např. částice v elektromagnetickém poli.
A co když je náš problém složitější než pohyb částic, například rotace tuhého tělesa nebo elasticita v mechanice kontinua? Poissonova závorka vyjadřující kinematiku stavových proměnných už pak není tak jednoduchá jako ta pro jednu částici a může mít například degeneraci. Opouštíme tak klidné vody symplektické geometrie a vydáváme se vstříc Poissonovské geometrii s obecnou Poissonovou závorkou. Podaří se najít správné geometrické integrátory, které zachovávají geometrickou strukturu systému, i v tomto případě? |