Superkompaktní prostory a nezávislé množiny v grafech
| Thesis title in Czech: | Superkompaktní prostory a nezávislé množiny v grafech |
|---|---|
| Thesis title in English: | Supercompact spaces and independent sets in graphs |
| Key words: | kompaktní prostor|metrický prostor |
| English key words: | compact space|metric space |
| Academic year of topic announcement: | 2024/2025 |
| Thesis type: | diploma thesis |
| Thesis language: | |
| Department: | Department of Mathematical Analysis (32-KMA) |
| Supervisor: | doc. Mgr. Benjamin Vejnar, Ph.D. |
| Author: |
| Guidelines |
| Nastudovat dostupnou literaturu o superkompaktních prostorech a zpracovat důkaz, že každý kompaktní metrický prostor je superkompaktní.
|
| References |
| R. Engelking: General topology
J. van Mill: Supercompactness and Wallman spaces C. F. Mills: A simpler proof that compact metric spaces are supercompact S. B. Nadler: Continuum theory |
| Preliminary scope of work |
| Topologický (nebo metrický) prostor se nazývá superkompaktní pokud má takovou subbázi, že libovolné pokrytí vybrané z této subbáze má dvouprvkové podpokrytí.
Snadno se ukáže, že uzavřený interval, Cantorova množina nebo Hilbertova kostka jsou superkompaktní. Je ovšem známo mnohem více - a sice, že každý kompaktní metrický prostor je již superkompaktní. Na druhou stranu existují příklady (topologických) kompaktních prostorů, které superkompaktní nejsou. Superkompaktnost přirozeně souvisí s pojmem grafového prostoru: máme-li (neorientovaný) graf G=(V, E), pak grafový prostor má za nosnou množinu všechny maximální nezávislé podmnožiny V (tj. ty množiny, že žádné dva body v ní nejsou spojeny hranou) a topologie je popsaná subbází sestávající ze systému těch maximálních nezávislých množin, které neobsahují daný vrchol v z množiny V. Díky tomu je možné každý kompaktní metrizovatelný prostor reprezentovat spočetným grafem. Uvedená korespondence není dostatečně probádaná a nabízí se řada přirozených otázek: a) Hledat k danému grafu odpovídající kompaktní prostor (např. pro náhodný graf) b) Hledat k danému kompaktnímu prostoru odpovídající graf (např. pro oblouk nebo pseudooblouk) |