Iterační řešení nelineárních diskretizací rovnic konvekce-difúze
| Thesis title in Czech: | Iterační řešení nelineárních diskretizací rovnic konvekce-difúze |
|---|---|
| Thesis title in English: | Iterative solution of nonlinear discretizations of convection-diffusion equations |
| Academic year of topic announcement: | 2024/2025 |
| Thesis type: | diploma thesis |
| Thesis language: | |
| Department: | Department of Numerical Mathematics (32-KNM) |
| Supervisor: | doc. Mgr. Petr Knobloch, Dr., DSc. |
| Author: |
| Guidelines |
| Rovnice konvekce-difúze se vyskytují v řadě modelů různých fyzikálních jevů. Koeficient difúze je často velmi malý ve srovnání s konvekcí, což v mnoha případech vede ke vzniku nefyzikálních oscilací v jejich numerických řešeních. Ukazuje se, že pokud nechceme použít extrémně jemné sítě, pak dostatečně přesná řešení lze získat pouze s využitím nelineárních metod, viz např. [1,2]. Potíž však spočívá v tom, že často není snadné příslušné nelineární problémy vyřešit. Diplomová práce by se měla zabývat zejména řešením soustav nelineárních algebraických rovnic získaných pomocí algebraických stabilizací [3]. Na toto téma již existuje práce [4], která může být východiskem pro další výzkum. Vhodným studijním materiálem by mohla být právě vycházející kniha [5], k níž existují i další volně dostupné zdroje [6,7]. |
| References |
| [1] V. John, P. Knobloch: On spurious oscillations at layers diminishing (SOLD) methods for convection-diffusion equations. I. A review, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 196 (2007), 2197–2215.
[2] G.R. Barrenechea, V. John, P. Knobloch: Finite element methods respecting the discrete maximum principle for convection-diffusion equations, arXiv (2022), https://arxiv.org/abs/2204.07480 [3] V. John, P. Knobloch: On algebraically stabilized schemes for convection–diffusion–reaction problems, arXiv (2021), https://arxiv.org/abs/2111.08697 [4] A. Jha, V. John: A study of solvers for nonlinear AFC discretizations of convection–diffusion equations. Comput. Math. Appl. 78 (2019), 3117–3138 [5] C. T. Kelley: Solving Nonlinear Equations with Iterative Methods: Solvers and Examples in Julia, SIAM, 2022 [6] https://github.com/ctkelley/NotebookSIAMFANL [7] https://github.com/ctkelley/SIAMFANLEquations.jl |
| Preliminary scope of work in English |
| Convection-diffsuion equations appear in many models of various physical phenomena. The diffusion coefficient is often very small in comparison with the convection, which in many cases leads to spurious oscillations in their approximate solutions. It turns out that sufficiently accurate solutions can be obtained only using nonlinear methods, see, e.g., [1,2], unless extremely fine meshes are used. A difficulty consists in the fact that it is often not easy to solve the respective nonlinear problems. The master thesis should be devoted mainly to the solution of systems of nonlinear algebraic equations obtained using algebraic stabilizations [3]. This topic was already considered in [4], which could be a starting point for a further research. A suitable study material might be the book [5] which is just beeing published and to which also additional freely available resources exist [6,7]. |