Extension of Sobolev homeomorphisms
| Thesis title in Czech: | Rozšíření Sobolevovského homeomorfismu |
|---|---|
| Thesis title in English: | Extension of Sobolev homeomorphisms |
| Key words: | operátor rozšíření|Sobolevovský homeomorfismus|Lipschitzovská oblast |
| English key words: | Extension|Sobolev homeomorphism|Lipschitz domain |
| Academic year of topic announcement: | 2022/2023 |
| Thesis type: | diploma thesis |
| Thesis language: | angličtina |
| Department: | Department of Mathematical Analysis (32-KMA) |
| Supervisor: | prof. RNDr. Stanislav Hencl, Ph.D. |
| Author: | hidden - assigned and confirmed by the Study Dept. |
| Date of registration: | 19.10.2022 |
| Date of assignment: | 19.10.2022 |
| Confirmed by Study dept. on: | 25.10.2022 |
| Date and time of defence: | 07.06.2024 09:00 |
| Date of electronic submission: | 02.05.2024 |
| Date of submission of printed version: | 02.05.2024 |
| Opponents: | Mgr. Barbora Benešová, Ph.D. |
| Guidelines |
| Student nejprve dokáže standardní poznatky, že každá lipschitzovská oblast je "extension domain" pro Sobolevoskou funkci.
Poté zkusí dokázat, že každá lipschitzovská oblast je "extension domain" pro Sobolevoský homeomorfismus. Tedy, že lze sestrojit nějaký nový operátor rozšíření, který bude navíc mít tu vlastnost, že rozšířená funkce je stále homeomorfismus. Takovéto tvrzení by bylo nové a nikde v literatuře není. Dále se dají případně studovat i obecnější oblasti. Určitě se dá ukázat pár protipříkladů, že to obecně nejde pro oblast s hroty. Také lze studovat operátor rozšíření i pro obecnější třídy, jako jsou například zobrazení s konečnou distorzí. |
| References |
| Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. Measure theory and fine properties of functions. Revised edition. Textbooks in Mathematics. CRC Press, Boca Raton, FL, 2015. xiv+299 pp.
Stein, Elias M. Singular integrals and differentiability properties of functions. Princeton Mathematical Series, No. 30 Princeton University Press, Princeton, N.J. 1970 xiv+290 pp. Anna Doležalová, Stanislav Hencl, Jan Malý, Weak limit of homeomorphisms in W^{1,n-1} and (INV) condition, arXiv 2112.08041. |
| Preliminary scope of work |
| Je známo, že každá lipschitzovská oblast je "extension domain" pro Sobolevovské funkce, tedy každá funkce z W^{1,p} lze rozšířit kousek za hranici a stále bude ve W^{1,p} - viz např. Stein, nebo Evans a Gariepy.
Pokud pracuje v oblastech motivované nelineární elasticitou, tak je přirozené předpoklídat, že naše zobrazení je navíc homeomorfismus. Rozšiřování Sobolevoského homeorfismu v rovině bylo studováno v nedávných pracech od P. Koskely, J. Onninena a jejich spolupracovníků. Dá se očekávat, že každá lipschitzovská oblast je "extension domain" i pro Sobolevovské homeomorfismy, tedy že při rozšiřování umíme zachovat spojitost a invertovatelnost. Tato přirozená otázka však zatím není nikde sepsaná a je jedním z hlavních cílů této práce. |
| Preliminary scope of work in English |
| It is well known that each Lipschitz domain is an extension domain for Sobolev mappings. The aim of this thesis is to show that even each Sobolev homeomorphism can be extended beyond the boundary so that the extension is a Sobolev homeomorphisms, i.e. we preserve the continuity and injectivity of the mapping. |